Kontragrediente Darstellung

In der Mathematik ist die kontragrediente Darstellung oder duale Darstellung ein wichtiges Hilfsmittel in linearer Algebra, projektiver Geometrie und Darstellungstheorie.

Definition

Zu einer gegebenen Darstellung

$\rho \colon G\to \operatorname {GL} (V)$

kann man die duale Darstellung

$\rho ^{*}\colon G\to \operatorname {GL} (V^{*})$

in den dualen Vektorraum $V^{*}$ definieren durch

$\left(\rho ^{*}(s)\nu \right)(v)=\nu \left(\rho (s^{-1})v\right)$

für alle $s\in G,v\in V$ und $\nu \in V^{*}.$

Mit dieser Definition gilt für die natürliche Paarung $\langle \nu ,v\rangle :=\nu (v)$ zwischen $V^{*}$ und $V:$

$\langle \rho ^{*}(s)(\nu ),\rho (s)(v)\rangle =\langle \nu ,v\rangle$ für alle $s\in G,v\in V,\nu \in V^{*}.$

Darstellung durch Matrizen

Nach Wahl einer Basis und der kanonischen dualen Basis wird $\rho (g)$ durch eine Matrix $A$ und $\rho ^{*}(g)$ durch die Transponierte der inversen Matrix beschrieben, also $\rho ^{*}(g)=(A^{T})^{-1}$.

Beweis: Sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$ und $v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}$ die duale Basis von $V^{*}$. Sei

$gv_{i}=\sum _{j}a_{ij}(g)v_{j}\in V$

und

$gv_{j}^{*}=\sum _{i}b_{ij}(g)v_{i}^{*}\in V^{*}$,

dann ist

$b_{ji}(g)=(gv_{j})^{*}v_{i}=v_{j}^{*}(g^{-1}v_{i})=v_{j}^{*}\left(\sum _{k}a_{ik}(g^{-1})v_{k}\right)=a_{ij}(g^{-1})$.

Unitäre Darstellungen

Wenn $\rho$ eine unitäre Darstellung ist, dann ist $\rho ^{*}$ die komplex konjugierte Darstellung ${\overline {\rho }}$.

Beispiel

Sei $G=\mathbb {Z} /3\mathbb {Z}$ und sei $\rho \colon \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to \operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )$ die Darstellung von $\mathbb {Z} /3\mathbb {Z}$ definiert durch

$\rho ({\overline {0}})={\text{Id}},\,\,\rho ({\overline {1}})=\left({\begin{array}{cc}\cos({\frac {2\pi }{3}})&-\sin({\frac {2\pi }{3}})\\\sin({\frac {2\pi }{3}})&\cos({\frac {2\pi }{3}})\end{array}}\right),\,\,{\text{ und }}\,\,\rho ({\overline {2}})=\left({\begin{array}{cc}\cos({\frac {4\pi }{3}})&-\sin({\frac {4\pi }{3}})\\\sin({\frac {4\pi }{3}})&\cos({\frac {4\pi }{3}})\end{array}}\right).$

Dann ist die duale Darstellung $\rho ^{*}\colon \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to \operatorname {GL} ((\mathbb {C} ^{2})^{*})$ gegeben durch:

$\rho ^{*}({\overline {0}})={\text{Id}},\,\,\rho ^{*}({\overline {1}})=\left({\begin{array}{cc}\cos({\frac {4\pi }{3}})&\sin({\frac {4\pi }{3}})\\-\sin({\frac {4\pi }{3}})&\cos({\frac {4\pi }{3}})\end{array}}\right),\,\,{\text{ und }}\,\,\rho ^{*}({\overline {2}})=\left({\begin{array}{cc}\cos({\frac {2\pi }{3}})&\sin({\frac {2\pi }{3}})\\-\sin({\frac {2\pi }{3}})&\cos({\frac {2\pi }{3}})\end{array}}\right).$

Literatur

• Bröcker, Theodor; tom Dieck, Tammo: Representations of compact Lie groups. Graduate Texts in Mathematics, 98. Springer-Verlag, New York, 1985. ISBN 0-387-13678-9
• Fulton, William; Harris, Joe: Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics. 129. New York: Springer-Verlag, 1991. ISBN 978-0-387-97495-8