Kontragrediente Darstellung

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In der Mathematik ist die kontragrediente Darstellung oder duale Darstellung ein wichtiges Hilfsmittel in linearer Algebra, projektiver Geometrie und Darstellungstheorie.

Definition

Zu einer gegebenen Darstellung

kann man die duale Darstellung

in den dualen Vektorraum definieren durch

für alle und

Mit dieser Definition gilt für die natürliche Paarung zwischen und

für alle

Darstellung durch Matrizen

Nach Wahl einer Basis und der kanonischen dualen Basis wird durch eine Matrix und durch die Transponierte der inversen Matrix beschrieben, also .

Beweis: Sei eine Basis von und die duale Basis von . Sei

und

,

dann ist

.

Unitäre Darstellungen

Wenn eine unitäre Darstellung ist, dann ist die komplex konjugierte Darstellung .

Beispiel

Sei und sei die Darstellung von definiert durch

Dann ist die duale Darstellung gegeben durch:

Literatur

  • Bröcker, Theodor; tom Dieck, Tammo: Representations of compact Lie groups. Graduate Texts in Mathematics, 98. Springer-Verlag, New York, 1985. ISBN 0-387-13678-9
  • Fulton, William; Harris, Joe: Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics. 129. New York: Springer-Verlag, 1991. ISBN 978-0-387-97495-8