Dutta-Ray-Lösung

Die Dutta-Ray-Lösung ist ein Lösungskonzept der kooperativen Spieltheorie. Streben eigennutzenmaximierende Individuen als soziales Ziel die Gleichheit an, so ist die Dutta-Ray-Lösung für kooperative Spiele mit transferierbaren Nutzen geeignet. Jede einzelne Koalition strebt dabei das Prinzip der Gleichheit an.

Lorenz-Menge

Die Lorenz-Menge wird mittels der (starken) Lorenz-Dominanz definiert. Dabei werden jene Zuteilungsvektoren verglichen, mittels derer die Lorenz-Kurven berechnet werden. In einem balancierten Spiel $\Gamma ({N},v)$ ist die Lorenz-Menge definiert als:

${\displaystyle LM(v)=\left\{x\in C(v)\ |\ \nexists \ y\in C(v):\ y\succ _{Lor}x\right\}}.$

Die Lorenz-Menge besteht somit aus allen nicht Lorenz-dominierten Kernzuteilungen. Außerdem ist die Lorenz-Menge eine Teilmenge des Kerns.

Definition Dutta-Ray-Lösung

Für konvexe Spiele $\Gamma ({N},v)$ ist die Lorenz-Menge einelementig, d. h. $|LM(v)|=1$. Dieses Element wird dann auch Dutta-Ray-Lösung genannt. Die Dutta-Ray-Lösung eines konvexen Spiels $\Gamma ({N},v)$ ist gegeben mit:

${\displaystyle DRL(v)={\underset {x\in C(v)}{\operatorname {arg\,min} }}\,\sum _{i\in N}\left(x_{i}-{\frac {v(N)}{|N|}}\right)^{2}}.$

Somit minimiert die Dutta-Ray-Lösung den euklidischen Abstand zwischen der Gleichverteilung und dem Kern.

Beispiele

Beispiel 1

Koalitionsfunktion des (Bei-)Spiels

${\displaystyle S}$	${\displaystyle \emptyset }$	${\displaystyle \{A\}}$	${\displaystyle \{B\}}$	${\displaystyle \{C\}}$	${\displaystyle \{A,B\}}$	${\displaystyle \{A,C\}}$	${\displaystyle \{B,C\}}$	${\displaystyle \{A,B,C\}}$
${\displaystyle v(S)}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 200}$	${\displaystyle 200}$	${\displaystyle 200}$	${\displaystyle 700}$	${\displaystyle 500}$	${\displaystyle 500}$	${\displaystyle 1200}$

Es handelt sich um ein konvexes Spiel. Ist die Gleichverteilung im Kern des Spieles, so ist es die Dutta-Ray-Lösung. Hier sind die dafür notwendigen Bedingungen mit $x_{A}=x_{B}=x_{C}=400$ erfüllt:

${\begin{array}{rcc}\displaystyle x_{A},x_{B},x_{C}&\geq &200&\\x_{A}+x_{B}+x_{C}&=&1200&\\x_{A}+x_{B}&\geq &700&\\x_{A}+x_{C}&\geq &500&\\x_{B}+x_{C}&\geq &500&\\\end{array}}$

Beispiel 2

Betrachtet man nun folgende Koalitionsfunktion mit ebenfalls ${v(N)}=1200$:

${\displaystyle S}$	${\displaystyle \emptyset }$	${\displaystyle \{A\}}$	${\displaystyle \{B\}}$	${\displaystyle \{C\}}$	${\displaystyle \{A,B\}}$	${\displaystyle \{A,C\}}$	${\displaystyle \{B,C\}}$	${\displaystyle \{A,B,C\}}$
${\displaystyle v(S)}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 100}$	${\displaystyle 100}$	${\displaystyle 100}$	${\displaystyle 900}$	${\displaystyle 300}$	${\displaystyle 300}$	${\displaystyle 1200}$

So kann festgehalten werden, dass dieses Spiel weiterhin konvex ist. Setzt man wieder die Gleichverteilung mit $x_{A}=x_{B}=x_{C}=400$ in die Bedingungen ein:

${\begin{array}{rcc}\displaystyle x_{A},x_{B},x_{C}&\geq &100&\\x_{A}+x_{B}+x_{C}&=&1200&\\x_{A}+x_{B}&\geq &900&\\x_{A}+x_{C}&\geq &300&\\x_{B}+x_{C}&\geq &300&\\\end{array}}$

ist die dritte Bedingung verletzt, d. h. die Gleichverteilung liegt nicht im Kern des Spieles. Spieler $A$ und $B$ wollen zusammen mindestens eine Auszahlung von $900$ erhalten. Wird diese Auszahlung hälftig unter den beiden Spielern aufgeteilt $x_{A}=x_{B}=450$, dann kann Spieler $C$ noch den Rest der Auszahlung der großen Koalition mit $x_{C}=300$ (${v(N)}-x_{A}-x_{B}=1200-450-450=300$) erhalten. Somit ist eine Verteilung gefunden, die alle Bedingungen erfüllt. Zudem wird damit offensichtlich, dass es sich um die Dutta-Ray-Lösung handelt.

Literatur

• Bhaskar Dutta, Debraj Ray: A concept of egalitarianism under participation constraints. In: Econometrica, Volume 57, Issue 3, 1989, https://doi.org/10.2307/1911055, S. 615–635.
• Bhaskar Dutta, Debraj Ray: Constrained Egalitarian Allocations. In: Games and Economic Behavior, Volume 3, Issue 4, 1991, https://doi.org/10.1016/0899-8256(91)90012-4, S. 403–422.
• Toru Hokari, Anita van Gellekom: Population monotonicity and consistency in convex games: Some logical relations. In: International Journal of Game Theory, Volume 31, Issue 4, 2002 https://doi.org/10.1007/s001820300141, S. 593–607.
• David Müller: Investitionscontrolling: Entscheidungsfindung bei Investitionen II: Entscheidungstheorie. 3. Aufl. Springer Gabler, Berlin u. a. 2022, ISBN 978-3-658-36596-7.