Dynkin-Index

In der Mathematik wird der Dynkin-Index $T_{R}$ einer irreduziblen Darstellung R definiert als

$\mathrm {Spur} (T^{a}T^{b})=\delta ^{ab}T_{R}$

worin $T^{a}$ die Erzeugenden der Darstellung sind. Der Begriff trägt seinen Namen zu Ehren des russischen Mathematikers Eugene Dynkin.

Für eine Darstellung $|\lambda |$ der Lie-Algebra $g$ mit dem höchsten Gewicht $\lambda$ wird der Dynkin-Index $\chi _{\lambda }$ definiert als

$\chi _{\lambda }={\frac {\dim(|\lambda |)}{2\dim(g)}}(\lambda ,\lambda +2\rho )$

worin der Weyl-Vektor

$\rho ={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha \in \Delta ^{+}}\alpha$

gleich der Hälfte der Summe aller positiven Wurzeln von $g$ ist. Ist als Spezialfall $\lambda$ die größte Wurzel, das heißt, $|\lambda |$ ist die adjungierte Darstellung, so ist der Dynkin-Index $\chi _{\lambda }$ gleich der dualen Coxeter-Zahl.

Literatur

• Philippe Di Francesco, Pierre Mathieu, David Sénéchal: Conformal Field Theory. Springer-Verlag, New York 1997, ISBN 0-387-94785-X.