Einbettungssatz von Schoenberg

Der Einbettungssatz von Schoenberg ist ein Lehrsatz der Mathematik, der die möglichen Abstände für endliche Punktmengen im euklidischen Raum charakterisiert.

Satz

Sei $X$ ein endlicher metrischer Raum mit $n+1$ Punkten $x_{0},\ldots ,x_{n}$. Dann gibt es genau dann eine isometrische Einbettung von $X$ in den $\mathbb {R} ^{d}$ mit der Standardmetrik, wenn seine Gram-Matrix positiv semi-definit ist und Rang höchstens $d$ hat. Dabei ist die Gram-Matrix definiert als die $n\times n$-Matrix, deren $(i,j)$-Eintrag $d(x_{0},x_{i})^{2}+d(x_{0},x_{j})^{2}-d(x_{i},x_{j})^{2}$ ist.

Literatur

• Isaac Jacob Schoenberg: Remarks to Maurice Frechet’s article “Sur la definition axiomatique d’une classe d’espaces vectoriels distancies applicables vectoriellement sur l’espace de Hilbert”. Ann. Math. (2) 36, 724–732 (1935).

Weblinks

• H. Maehara: Euclidean embeddings of finite metric spaces