Einheits-Tangentialbündel

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In der Mathematik bezeichnet das Einheits-Tangentialbündel den Raum aller Tangentialvektoren der Länge 1 zu einer gegebenen Mannigfaltigkeit, zum Beispiel zu einer Fläche im . Der Begriff spielt eine wichtige Rolle in der Differentialgeometrie und der Theorie der dynamischen Systeme.

Definition

Es sei eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und ihr Tangentialbündel. Das Einheits-Tangentialbündel ist

In der englischsprachigen Literatur wird das Einheits-Tangentialbündel häufig auch mit bezeichnet.

Topologische Eigenschaften

Das Einheits-Tangentialbündel ist ein Sphärenbündel über also insbesondere auch ein Faserbündel. Die Fasern sind -dimensionale Sphären für .

ist eine -dimensionale Mannigfaltigkeit. Sie ist genau dann kompakt, wenn kompakt ist.

Beispiele

  • ist diffeomorph zu .
  • ist diffeomorph zum 3-Torus.

Liouville-Maß

Auf ist eine kanonische 1-Form definiert durch

wobei die Projektion bezeichnet.

Die -Form ist eine Volumenform und definiert ein Maß auf , das Liouville-Maß.

und das Liouville-Maß sind invariant unter dem geodätischen Fluss.

Literatur

  • Jeffrey M. Lee: Manifolds and Differential Geometry. Graduate Studies in Mathematics Vol. 107, American Mathematical Society, Providence (2009). ISBN 978-0-8218-4815-9
  • Jürgen Jost: Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin. ISBN 3-540-42627-2
  • Ralph Abraham und Jerrold E. Marsden: Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London. ISBN 0-8053-0102-X