Einheitskreis

Punkte auf dem Einheitskreis $(\cos \varphi ,\sin \varphi )$

In der Mathematik ist der Einheitskreis der Kreis, dessen Radius die Länge 1 hat und dessen Mittelpunkt mit dem Koordinatenursprung eines kartesischen Koordinatensystems der Ebene übereinstimmt. Der Einheitskreis besteht also aus den Punkten $(x,y)$ der Ebene, für die $x^{2}+y^{2}=1$ gilt.

Die Menge der Punkte $(x,y)$ der Ebene, für die $x^{2}+y^{2}\leq 1$ gilt, bezeichnet man als Einheitskreisscheibe. Ihr Inneres, also die Menge der Punkte $(x,y)$ der Ebene, für die $x^{2}+y^{2}<1$ gilt, ist die offene Einheitskreisscheibe.

Trigonometrische Zusammenhänge

Trigonometrische Funktionen am Einheitskreis (Animation)

Liegt ein Punkt $P$ auf dem Einheitskreis, dann kann man einen Winkel $\varphi$ zu der x-Achse (Abszisse) definieren, unter dem $P$ vom Ursprung des Koordinatensystems aus gesehen wird. Für die Koordinaten $(x_{p},y_{p})$ von $P$ gilt dann

$x_{p}=\cos \varphi$, $y_{p}=\sin \varphi$ und $y_{p}/x_{p}=\tan \varphi .$

Unter Zuhilfenahme der Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck lassen sich folgende Zusammenhänge aufstellen:

$\sin \varphi ={\frac {\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}}$

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}}}

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Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cot \varphi= \frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}} }

Außerdem existieren noch die wenig gebräuchlichen Funktionen Sekans und Kosekans, die definiert sind als die Kehrwertfunktionen von Kosinus und Sinus.

Die orientierte Länge der Tangente an den Kreis, welche senkrecht auf der x-Achse steht, bis zum Scheitelpunkt des Winkels ist der Tangens von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi} .

Der Einheitskreis kann auch über die Eulersche Identität in der Komplexen Zahlenebene dargestellt werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e^{i \varphi} = \cos\left(\varphi \right) + i \sin\left( \varphi\right) } .

Rationale Parametrisierung

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Rationale Parametrisierung

Auch ohne Rückgriff auf trigonometrische Funktionen lassen sich alle Punkte des Einheitskreises finden. Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} eine beliebige reelle Zahl. Ein Schnittpunkt der Geraden durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (-1,0)} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (0,t)} mit dem Einheitskreis ist trivialerweise $(-1,0)$. Der andere befindet sich bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left(\tfrac{1-t^2}{1+t^2},\tfrac{2t}{1+t^2}\right)} , und durchläuft, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} ganz $\mathbb {R}$ durchläuft, den ganzen Kreis. Der Punkt $(-1,0)$ wird dabei allerdings nur nach dem Grenzübergang $t\to \pm \infty$ erreicht.

Diese Parametrisierung ist für alle Körper geeignet. Für rationale $t=p/q$ erhält man aus ihr durch elementare Umformungen pythagoräische Tripel Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle (q^{2}-p^{2},2pq,q^{2}+p^{2})} .

Andere Normen

Wird eine andere Norm als die euklidische Norm zur Abstandsmessung benutzt, so ist die Form des Einheitskreises im kartesischen Koordinatensystem eine andere. So ist zum Beispiel der Einheitskreis für die Maximumsnorm ein Quadrat mit den Ecken Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle (\pm 1,\pm 1)} und der Einheitskreis für die Summennorm ein Quadrat mit den Ecken Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle (\pm 1,0)} und $(0,\pm 1)$.

Weblinks

Wikibooks

Wikibooks: Trigonometrie (Schulmathematik) – Lern- und Lehrmaterialien

Commons: Unit circles – Sammlung von Bildern

Wiktionary: Einheitskreis – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Einführung Sinus und Kosinus am Einheitskreis (Video)