Koordinatensystem
Die Felder des Schachbretts werden mit einem Zahlen-Buchstaben-Paar bezeichnet.
Ein Koordinatensystem dient dazu, Punkte mit Hilfe von Zahlen, den Koordinaten, in eindeutiger Weise zu beschreiben. Die einfachsten Beispiele sind ein Zahlenstrahl und kartesische Koordinaten in der Ebene. Im ersten Fall wird einem Punkt einer Gerade eine reelle Zahl zugeordnet. Im zweiten Fall wird ein Punkt in der Ebene durch zwei reelle Zahlen beschrieben.
Bei räumlichen Gebilden sind drei Koordinaten erforderlich, bei raum-zeitlichen Gebilden vier.
Der Begriff Koordinate – in der Bedeutung „Lageangabe“ – wurde im 18. Jahrhundert aus dem Wort Ordinate (Senkrechte) gebildet.[1]
Koordinaten werden in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Physik unterschiedlich bezeichnet. So heißen die Koordinaten eines Elements (Vektors) eines endlichdimensionalen Vektorraums seine Komponenten, die Koordinaten in einem Produkt von Mengen sind die Projektionen auf einen der Faktoren. Oft gibt es zahlreiche Möglichkeiten, ein Koordinatensystem einzuführen. Beim Beispiel des Zahlenstrahls hat man beliebig viele Möglichkeiten einen Punkt auszuwählen, dem die Koordinate 0 zugeordnet werden soll. In der Ebene ist die Situation sogar noch komplizierter. Selbst nach Wahl eines Punktes, der die Koordinate erhält, lässt sich jedes (verschiedene) Paar von Zahlenstrahlen durch diesen Punkt als Koordinatenachsen wählen.
Je nach Beschaffenheit der Menge, auf der man ein Koordinatensystem wählen möchte benötigt man auch mehr als ein oder zwei Koordinaten. Die geordnete Menge der Koordinaten wird meist als ein n-Tupel bezeichnet. Der Punkt des Zahlenstrahls mit der Koordinate 0 und der Punkt der Ebene mit den Koordinaten beziehungsweise der ausgezeichnete Punkt einer Menge, dessen Koordinaten alle 0 sind, wird als Koordinatenursprung (kurz: Ursprung) bezeichnet.
Neben den weit verbreiteten kartesischen (rechtwinkligen) Koordinaten gibt es auch andere Arten, Koordinatensysteme zu definieren. Möchte man beispielsweise auf der Kreisfläche Koordinaten einführen, so würden sich Polarkoordinaten anbieten. Der Kreismittelpunkt wäre dann der Ursprung und jeder Punkt der Kreisfläche würde durch Angabe der Entfernung vom Mittelpunkt und eines Winkels eindeutig beschrieben. In diesem Fall lässt sich im Vergleich zu den kartesischen Koordinaten nur eine der beiden Koordinaten als Länge interpretieren. Ein anderes Beispiel ist das eines Schachbrettes. Hier wird eine Kombination aus Buchstaben und natürlichen Zahlen genutzt, um die Felder des Brettes zu benennen.
In vielen Situationen ist es unmöglich, hinreichend sinnvolle und bequeme globale Koordinaten auf der gesamten Menge einzuführen. Zum Beispiel können die Punkte einer Kugeloberfläche, anders als die einer Ebene, nicht in eine kontinuierliche Eins-zu-Eins-Korrespondenz mit Zahlenpaaren gebracht werden. Daher wurde das Konzept der lokalen Koordinaten eingeführt. Dies ist zum Beispiel die Situation in der Theorie der Mannigfaltigkeiten.
Gebräuchliche Koordinatensysteme
Zahlengerade
Das einfachste Beispiel eines Koordinatensystems ist die Identifikation von Punkten auf einer Gerade mit der reellen Zahlengerade. In diesem System wird ein beliebiger Punkt O (der Ursprung) auf einer gegebenen Geraden gewählt. Die Koordinate eines Punktes P ist definiert als der vorzeichenbehaftete Abstand von O zu P, wobei der vorzeichenbehaftete Abstand als positiv oder negativ angenommen wird, je nachdem, auf welcher Seite der Linie P liegt. Jeder Punkt erhält eine eindeutige Koordinate und jede reelle Zahl ist die Koordinate eines eindeutigen Punktes.[2]
Kartesisches Koordinatensystem
Eines der bekanntesten Beispiele für ein Koordinatensystem ist das kartesische Koordinatensystem. In der Ebene werden zwei Senkrechte gewählt und die Koordinaten eines Punktes als die vorzeichenbehafteten Abstände zu den Geraden aufgefasst. In drei Dimensionen wählt man drei zueinander orthogonale Ebenen und die drei Koordinaten eines Punktes sind die vorzeichenbehafteten Abstände zu jeder der Ebenen. Dies kann verallgemeinert werden, um n-Koordinaten für jeden Punkt im n-dimensionalen euklidischen Raum zu erzeugen.
Es ist nach dem latinisierten Namen Cartesius des französischen Mathematikers René Descartes benannt, der das Konzept der „kartesischen Koordinaten“ bekannt gemacht hat.[3] Je nach Anordnung der Koordinatenachsen kann das dreidimensionale Koordinatensystem ein Rechts- oder ein Linkssystem sein.
Affines Koordinatensystem
Wählt man in der euklidischen Ebene drei nicht auf einer Gerade liegende Punkte Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle P_{0},P_{1},P_{2}} aus, so sind die beiden Vektoren linear unabhängig. Mit dem Punkt als Ursprung lässt sich der Ortsvektor eines beliebigen Punktes so schreiben:
und dem Punkt das Zahlenpaar Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle (u,v)_{a}} als affine Koordinaten[4] bezüglich den Basispunkten zuordnen.
Bilden die Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overrightarrow{P_0P_1} , \overrightarrow{P_0P_2} } eine Orthonormalbasis, so ergeben sich die zuvor genannten kartesischen Koordinaten. In diesem Fall sind für einen Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (u_0,v_0)_a} die Punktmengen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u=u_0} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v=v_0} Geraden, die sich orthogonal schneiden. Sind die Basisvektoren nicht orthogonal (siehe Bild), spricht man von schiefwinkligen Koordinaten.
Entsprechend sind affine Koordinaten für höhere Dimensionen erklärt. Koordinaten auf diese Weise zu definieren ist für jeden n-dimensionalen affinen Raum über einem Körper möglich, ist also nicht auf einen euklidischen Raum beschränkt.
Polarkoordinaten
Ein weiteres häufig genutztes Koordinatensystem ist das der Polarkoordinaten. Dieses kann nur in der Ebene eingeführt werden. Für den dreidimensionalen Raum gibt es mit den Kugel- und den Zylinderkoordinaten zwei unterschiedliche Verallgemeinerungen. Im Gegensatz zu den zuvor genannten Systemen sind dieses Koordinatensystem und seine zwei Verallgemeinerungen keine Spezialfälle affiner Koordinatensysteme.
Für die Definition dieses Koordinatensystems wird ein Punkt als Pol und ein Strahl von diesem Punkt wird als Polachse gewählt. Für einen gegebenen Winkel gibt es eine einzige Linie durch den Pol, deren Winkel mit der Polachse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi} ist (gemessen gegen den Uhrzeigersinn von der Achse zur Linie). Dann gibt es einen einzigen Punkt auf dieser Linie, dessen Abstand vom Ursprung den Wert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} ist. Für ein gegebenes Koordinatenpaar Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (r, \phi)} gibt es einen einzigen Punkt, aber jeder Punkt wird durch viele Koordinatenpaare dargestellt. Zum Beispiel sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (r, \phi)} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (r, \phi + 2 \pi)} Polarkoordinaten für denselben Punkt. Der Pol wird durch für einen beliebigen Wert von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi} dargestellt.
Kugel- und Zylinderkoordinaten
Es gibt zwei übliche Methoden zur Erweiterung der Polarkoordinaten für den dreidimensionalen Raum.
Bei zylindrischen Koordinatensystem wird eine z-Koordinate mit der gleichen Bedeutung wie bei kartesischen Koordinaten zu den Polarkoordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (r, \phi)} hinzugefügt, was ein Tripel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (r, \phi, z)} ergibt.
Bei Kugelkoordinaten oder räumlichen Polarkoordinaten wird ein Punkt im dreidimensionalen Raum durch seinen Abstand vom Ursprung und durch zwei Winkel angegeben. Ein bekanntes Beispiel eines Kugelkoordinatensystems ist das System der Geographischen Koordinaten mit deren Hilfe die Erde in Längen- und Breitengrade unterteilt wird. Die dritte Koordinate also der Abstand vom Erdmittelpunkt ist bei diesem System nicht relevant.
Elliptische Koordinaten
Elliptische Koordinaten verwenden sich senkrecht schneidende Systeme von konfokalen Ellipsen und Hyperbeln. Diese Koordinaten sind für die Brennpunkte und die Punkte dazwischen nicht definiert.
Den (ebenen) elliptischen Koordinaten entsprechen die Ellipsoid-Koordinaten. Das hier verwendete orthogonale Flächensystem besteht aus konfokalen Ellipsoiden, einschaligen und zweischaligen Hyperboloiden.
Weiterhin gibt es noch die ellipsoidische Koordinaten, die zur Beschreibung von Punkten eines Rotations-Ellipsoids (Erde) verwendet werden.
Parameterdarstellung
Parameterdarstellungen von Flächen kann man als Koordinatensysteme dieser Flächen ansehen. Z. B. die Parameterdarstellung einer Ebene, die übliche Parameterdarstellung einer Kugeloberfläche mit geographischer Länge und Breite oder die Paramerdarstellung eines Ellipsoids.
Lokales Koordinatensystem
Ein lokales Koordinatensystem oder auch (Koordinaten-)Karte[5] ist ein Koordinatensystem für eine Teilmenge eines geometrischen Objekts. Das Konzept der Koordinatenkarten ist zentral für die Theorie der Mannigfaltigkeiten. Eine Mannigfaltigkeit ist ein geometrisches Objekt, so dass für jeden Punkt ein lokales Koordinatensystem existiert, das mit den benachbarten Koordinatensystemen verträglich ist. Genauer gesagt ist eine Koordinatenkarte ein Homöomorphismus von einer offenen Teilmenge eines Raumes zu einer offenen Teilmenge von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^n} . Oft ist es nicht möglich, ein einziges konsistentes Koordinatensystem für einen ganzen Raum bereitzustellen. In diesem Fall wird eine Sammlung von Koordinatenkarten zu einem Atlas zusammengesetzt, der den ganzen Raum abdeckt.[6]
Sind beispielsweise Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle (u,v)_{c}} krummlinige orthogonale Koordinaten (Polarkoordinaten, elliptische Koordinaten,...) auf der Ebene und bestimmt man an einem Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_0=(u_0,v_0)_c} die Tangentenrichtungen der Kurven Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v=v_0} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u=u_0} und normiert diese, so erhält man lokale Basisvektoren, die man für ein lokales Koordinatensystem verwenden kann. Bei Polarkoordinaten zeigt der eine Vektor in Radiusrichtung und der andere in Richtung der Tangente des Kreises durch . Hier kann man sich das lokale System durch Verschiebung und geeigneter Drehung aus dem globalen System entstanden denken.
Im Raum bestimmt man die Tangentenvektoren an die durch einen Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_0=(u_0,v_0,w_0)_c} gehenden Kurven , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (u_0,v,w_0)_c} und und normiert sie.
Koordinatentransformationen
Für das Umrechnen von Koordinaten eines Systems in die Koordinaten eines anderen Systems gibt es die Koordinatentransformationen.
Homogene Koordinaten in der Ebene
Die euklidische Ebene lässt sich auch mit homogenen Koordinaten beschreiben. Dabei werden einem Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P=(x,y)} drei homogene Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x_1:x_2:x_3)} so zugeordnet, dass auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P=(cx_1:cx_2:cx_3)} für alle gilt. Eine Standardzuordnung ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P=(x:y:1)} . Setzt man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P=(x:y:1-x-y)} erhält man baryzentrische Koordinaten. Der große Vorteil homogener Koordinaten ist, dass Punkte der Ferngerade einfach zu beschreiben sind: Im Standardfall durch die Gleichung , im baryzentrischen Fall durch die Gleichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1+x_2+x_3=0} . Die bei affinen Koordinaten nötigen Grenzwert-Überlegungen werden im Standardfall zum einfachen Setzen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_3=0} .
In der Dreiecksgeometrie werden auch trilineare Koordinaten verwendet.
Weitere Koordinatensysteme
Einige nur in Fachgebieten (z. B. Geodäsie, Kartografie, Geographie, Fernerkundung, Astronomie, Amateurfunk) gebräuchliche Koordinatensysteme sind:
- Inertialsystem
- Geographisches Koordinatensystem
- Soldner-Koordinatensystem
- Gauß-Krüger-Koordinatensystem
- UTM-Koordinatensystem
- UTM-Referenzsystem auch MGRS
- Astronomische Koordinatensysteme wie das ekliptikale oder galaktische
- Parallele Koordinaten
- Bewegte Koordinatensysteme
- Rotierende Koordinatensysteme
- Fahrzeugkoordinatensystem
- Weltkoordinatensystem
- QTH-Locator (Amateurfunk)
- Marinequadrate und Gradnetze (aus dem Zweiten Weltkrieg)
Weblinks
- Einfache und verständliche Erklärung (hpts. durch Abbildungen)
- Eric W. Weisstein: Coordinate System. In: MathWorld (englisch).
Einzelnachweise
- ↑ Etymologie nach Kluge Etymologisches Wörterbuch der deutschen Sprache, 24. Auflage, 2002.
- ↑ James B. Stewart, Lothar Redlin, Saleem Watson: College Algebra. Hrsg.: Brooks Cole. 5. Auflage. 2008, ISBN 978-0-495-56521-5, S. 13–19.
- ↑ Kartesische Koordinaten. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
- ↑ Bronstein, Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Teubner-Verlag, Leipzig, 1979, ISBN 3 87144 492 8, S. 606
- ↑ Komplexe Mannigfaltigkeit. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
- ↑ John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1, S. 4ff.
