Dreiecksgeometrie
Die Dreiecksgeometrie spielt in der ebenen (euklidischen) Geometrie eine besondere Rolle, da sich beliebige Vielecke aus Dreiecken zusammensetzen lassen. Eine eindeutige Abgrenzung von der Trigonometrie, die sich zu einem großen Teil mit Dreiecksberechnungen beschäftigt, ist oft nicht möglich. Die Kennzeichen der Trigonometrie sind die Verwendung der trigonometrischen Funktionen (Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens, Sekans, Kosekans) und die Betonung des rechnerischen Aspekts, während sich die Dreiecksgeometrie allgemein mit Eigenschaften allgemeiner und spezieller Dreiecke befasst.
Grundlage der Dreiecksgeometrie sind die teilweise in der Schulgeometrie behandelten Sätze über Seiten und Winkel des allgemeinen Dreiecks (zum Beispiel über die Winkelsumme) und die Erkenntnisse über spezielle Dreieckstypen:
- Gleichschenkliges Dreieck (Gleichheit der Basiswinkel)
- Gleichseitiges Dreieck (60°-Winkel)
- Rechtwinkliges Dreieck (Thaleskreis, Satz des Pythagoras)
Schon in der antiken griechischen Mathematik wurden die „klassischen“ Transversalen des Dreiecks untersucht:
- die Mittelsenkrechten (Streckensymmetralen), die sich im Umkreismittelpunkt schneiden,
- die Winkelhalbierenden (Winkelsymmetralen) der Innen- und Außenwinkel, die sich im Inkreismittelpunkt beziehungsweise in den Ankreismittelpunkten schneiden,
- die Seitenhalbierenden (Schwerlinien), die sich (im Verhältnis 2:1) im Schwerpunkt schneiden,
- und die Höhen, die sich im Orthozentrum schneiden.
Erst in der Neuzeit (seit dem 17. Jahrhundert) kamen weitere Entdeckungen hinzu, darunter eine große Zahl besonderer Punkte wie Fermat-Punkt, Mittenpunkt, Nagel-Punkt, Napoleon-Punkt, Lemoine-Punkt und Brocard-Punkt.
Eine besonders wichtige Rolle in der Dreiecksgeometrie spielen
- die eulersche Gerade, auf der Umkreismittelpunkt, Schwerpunkt und Höhenschnittpunkt liegen,
- und der Feuerbachkreis (Neun-Punkte-Kreis), der durch die Seitenmittelpunkte, die Höhenfußpunkte und die Mittelpunkte der oberen Höhenabschnitte geht und sowohl den Inkreis als auch die drei Ankreise berührt.
Viele Entdeckungen der Dreiecksgeometrie stammen aus den letzten beiden Jahrzehnten. Grund dafür ist nicht zuletzt die Verwendung dynamischer Geometrie-Software, die das Erstellen genauer Zeichnungen mit geringem zeitlichem Aufwand ermöglicht und im Zugmodus schnell erkennen lässt, ob eine Vermutung allgemein richtig sein könnte oder nicht. Auch Computerprogramme zur automatisierten Beweisführung werden mit Erfolg auf diesem Gebiet eingesetzt. Ein weiteres wichtiges Hilfsmittel, mit dem sich die vielen besonderen Punkte des Dreiecks einheitlich beschreiben lassen, sind die trilinearen und die baryzentrischen Koordinaten.
Siehe auch
Literatur
- Philip J. Davis: The Rise, Fall, and Possible Transfiguration of Triangle Geometry: A Mini-History. In: American Mathematical Monthly. Band 102, Nr. 3, März 1995, S. 204–214, JSTOR:2975007.
