Erblicher Ring

In der Mathematik liefert die Länge einer projektiven Auflösung eines Moduls über einem Ring $R$ in einem gewissen Sinne ein Maß dafür, wie „kompliziert“ der Modul ist.

Ein Ring $R$ heißt erblich, wenn jeder Untermodul eines projektiven $R$-Moduls projektiv ist. Das heißt, jede minimale projektive Auflösung eines Moduls stoppt bereits nach zwei Schritten.

Bei nicht-kommutativen Ringen unterscheidet man zwischen Links- und Rechtserblichkeit: Ein Ring $R$ heißt links-erblich, wenn jeder Untermodul eines projektiven $R$-Linksmoduls projektiv ist. Entsprechend heißt ein Ring $R$ rechts-erblich, wenn jeder Untermodul eines projektiven $R$-Rechtsmoduls projektiv ist. Es gibt Ringe, die links- aber nicht rechts-erblich sind, und umgekehrt (s. u.).

Beispiele

• Jeder Körper $K$ ist erblich, da alle $K$-Moduln (= $K$-Vektorräume) frei und damit projektiv sind.
• Jeder halbeinfache Ring ist erblich, da jeder Modul über dem Ring projektiv ist.
• Jeder Hauptidealring ist erblich, da hier projektive Moduln frei sind und Untermoduln freier Moduln ebenfalls frei sind.
• ${\begin{pmatrix}\mathbb {Q} &\mathbb {Q} \\0&\mathbb {Z} \end{pmatrix}}:={\Bigl \{}{\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\0&a_{2,2}\end{pmatrix}}\in \mathrm {Mat} (2,\mathbb {Q} )\mid a_{2,2}\in \mathbb {Z} {\Bigr \}}$ ist links-erblich aber nicht rechts-erblich.
• Jede Wegealgebra eines Köchers ist erblich.