Evolute

Die Evolute (rot) einer Kurve (Parabel, blau) ist der geometrische Ort aller Krümmungsmittelpunkte oder auch die Einhüllende ihrer Normalen

Die Evolute einer ebenen Kurve ist

• die Bahn, auf der sich der Mittelpunkt des Krümmungskreises bewegt, wenn der zugehörige Punkt die gegebene Kurve durchläuft.

Oder auch:

• die Hüllkurve (Enveloppe) der Normalen der gegebenen Kurve.

Evoluten stehen in engem Zusammenhang mit den Evolventen einer gegebenen Kurve, denn es gilt: Eine Kurve ist die Evolute jeder ihrer Evolventen.

Evolute einer parametrisierten Kurve

Beschreibt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec x= \vec c(t),\; t\in [t_1,t_2]} eine reguläre Kurve in der euklidischen Ebene, deren Krümmung nirgends 0 ist, und sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho(t)} der Krümmungskreisradius und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec n(t)} die zum Krümmungsmittelpunkt weisende Einheitsnormale, so ist

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec E(t)=\vec c(t) +\rho (t)\vec n(t)}

die Evolute der gegebenen Kurve.

Ist ${\vec {c}}(t)=(x(t),y(t))^{T}$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec E=(X,Y)^T} , so ist

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle X(t) = x(t) - \frac{y'(t) \cdot \Big(x'(t)^2+y'(t)^2\Big)}{x'(t) \cdot y''(t) - x''(t) \cdot y'(t)}} und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle Y(t) = y(t) + \frac{x'(t) \cdot \Big(x'(t)^2+y'(t)^2\Big)}{x'(t) \cdot y''(t) - x''(t) \cdot y'(t)}} .

Eigenschaften der Evolute

Evolute: Die Normale in P ist Tangente in M.

Um Eigenschaften einer regulären Kurve herzuleiten, ist es vorteilhaft, die Bogenlänge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s} der gegebenen Kurve als Parameter zu verwenden. Denn dann gilt (s. Frenetsche Formeln) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \;|\vec c'|=1\;} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \;\vec n'=-\vec c'/\rho\;} . Hieraus folgt für den Tangentenvektor der Evolute Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \;\vec E=\vec c +\rho \vec n \;} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec E'=\vec c' +\rho'\vec n +\rho\vec n'=\rho'\vec n\; .}

Aus dieser Gleichung ergeben sich die folgenden Eigenschaften einer Evolute:

• Die Evolute ist in Punkten mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho'=0} nicht regulär, d. h., sie hat in Punkten maximaler oder minimaler Krümmung Spitzen (s. Parabel, Ellipse, Nephroide).
• Die Normalen der gegebenen Kurve sind Tangenten der Evolute, d. h.: Die Evolute ist die Einhüllende der Normalen der gegebenen Kurve.
• In Abschnitten der gegebenen Kurve, in denen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho'>0} bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho'<0} gilt, ist sie eine Evolvente ihrer Evolute. (Im Bild ist die blaue Parabel eine Evolvente der roten Neilschen Parabel.)

Beweis der letzten Eigenschaft:
In dem betrachteten Abschnitt sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho'>0} . Eine Evolvente der Evolute lässt sich folgendermaßen beschreiben:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec C_0=\vec E -\frac{\vec E'}{|\vec E'|}\;\Big(\int_0^s|\vec E'(w)|\; \mathrm dw+l_0\;\Big)\; ,}

wobei $l_{0}$ eine Fadenverlängerung bedeutet (s. Evolvente).
Mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec E=\vec c +\rho\vec n\; ,\; \vec E'=\rho'\vec n} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho'>0} ergibt sich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec C_0 = \vec c +\rho\vec n-\vec n \;\Big(\int_0^s\rho'(w)\; \mathrm dw\;+l_0\Big)= \vec c +(\rho(0)-l_0)\; \vec n\; .}

D. h., für die Fadenverlängerung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l_0=\rho(0)} erhält man die gegebene Kurve wieder.

• Parallele Kurven besitzen dieselbe Evolute.

Beweis: Eine zur gegebenen Kurve im Abstand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d} parallele Kurve besitzt die Parameterdarstellung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec c_d =\vec c +d\vec n} und den Krümmungsradius (s. Parallelkurve) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho_d=\rho -d} . Die Evolute der Parallelkurve ist also Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\vec {E}}_{d}={\vec {c}}_{d}+\rho _{d}{\vec {n}}={\vec {c}}+d{\vec {n}}+(\rho -d){\vec {n}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}={\vec {E}}\;.}

Beispiele

Evolute der Normalparabel

Die Normalparabel lässt sich durch die Parameterdarstellung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (t,t^2)} beschreiben. Nach den obigen Formeln ergeben sich für die Evolute die folgenden Gleichungen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X=\cdots=-4t^3}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y=\cdots=\frac{1}{2}+3t^2}

Dies ist die Parameterdarstellung einer Neilschen Parabel.

Datei:Evolute-elli.svg

Evolute (rot) einer Ellipse

Datei:Nephroide-evolute.svg

Die Evolute der großen Nephroide (blau) ist die kleine Nephroide (rot)

Evolute einer Ellipse

Für die Ellipse mit der Parameterdarstellung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a\cos t, b\sin t)} ergibt sich:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X=\cdots = \frac{a^2-b^2}{a}\cos ^3t}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y=\cdots = \frac{b^2-a^2}{b}\sin ^3t}

Diese Gleichungen beschreiben eine schiefe Astroide. Elimination von $t$ liefert die implizite Darstellung

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (aX)^{\tfrac{2}{3}} +(bY)^{\tfrac{2}{3}}=(a^2-b^2)^{\tfrac{2}{3}}\ .}

Evoluten bekannter Kurven

• Zu einer Astroide: wiederum eine Astroide (doppelt so groß)
• Zu einer Ellipse: eine schiefe Astroide
• Zu einer Kardioide: wiederum eine Kardioide (ein Drittel so groß)
• Zu einem Kreis: ein Punkt, nämlich dessen Mittelpunkt
• Zu einer Deltoide: wiederum eine Deltoide (dreimal so groß)
• Zu einer Zykloide: eine kongruente Zykloide
• Zu einer Epizykloide: eine vergrößerte Epizykloide
• Zu einer Hypozykloide: eine ähnliche Hypozykloide
• Zu einer logarithmischen Spirale: die gleiche logarithmische Spirale
• Zu einer Nephroide: wiederum eine Nephroide (halb so groß)
• Zu einer Parabel: eine Neilsche Parabel
• Zu einer Traktrix: eine Katenoide (Kettenlinie)

Literatur

• K. Burg, H. Haf, F. Wille, A. Meister: Vektoranalysis: Höhere Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und … Springer-Verlag, 2012, ISBN 3-8348-8346-8, S. 30.
• Kleine Enzyklopädie Mathematik. Harry Deutsch Verlag, 1977, ISBN 3-87144-323-9, S. 475.

Weblinks

Commons

Commons: Evolute – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Eric W. Weisstein: Evolute. In: MathWorld (englisch).