Exponentialansatz

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Unter dem Exponentialansatz versteht man in der Mathematik einen Ansatz zur Lösung einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, deren Inhomogenität von exponentieller Struktur ist. Die Idee ist, dass dann auch eine partikuläre Lösung von ähnlicher Gestalt wie die Inhomogenität existiert. Durch einen solchen Lösungsansatz wird die Differentialgleichung auf ein lineares Gleichungssystem zurückgeführt. Die Idee für diesen Ansatz geht auf Leonhard Euler zurück.

Formulierung

Gegeben sei eine lineare Differentialgleichung

mit konstanten Koeffizienten , worin die Inhomogenität die Struktur

besitzt. Weiter bezeichne die Nullstellenordnung von bezüglich des charakteristischen Polynoms der zugehörigen homogenen Gleichung

Dann existiert eine spezielle Lösung der Form

Beispiel

Man betrachte die lineare Differentialgleichung

Nun ist Nullstelle erster Ordnung des Polynoms . Also existiert nach obigem Satz eine spezielle Lösung der Gestalt

Aus

und

erhält man von der Differentialgleichung

Koeffizientenvergleich liefert die bestimmenden Gleichungen

welches und impliziert. Also ist

eine spezielle Lösung obiger inhomogener Differentialgleichung.

Literatur

  • Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis Teil 1. 5. Auflage. Teubner-Verlag 1988, ISBN 3-519-42221-2, S. 413–428.