F-Algebra

Eine F-Algebra ist eine Struktur, welche allein auf Funktoreigenschaften beruht.

Dual zum Begriff der F-Algebra ist der der F-Koalgebra

Definition

Es sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal C} eine Kategorie und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F\colon\mathcal C\to\mathcal C} ein Funktor. Jeder ${\mathcal {C}}$-Morphismus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha\colon F(X)\to X} ist dann eine Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} -Algebra. Das Objekt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} heißt Träger von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha} .

Homomorphismen

Sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha\colon F(A)\to A} und $\beta \colon F(B)\to B$ Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} -Algebren in ${\mathcal {C}}$, so heißt ein Morphismus $h\colon A\to B$ in ${\mathcal {C}}$ mit der Eigenschaft Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle h\circ \alpha =\beta \circ F(h)} Homomorphismus von $\alpha$ nach $\beta$.

Initiale F-Algebren

Die Homomorphismen zwischen $F$-Algebren zu einem festen Funktor $F$ bilden ihrerseits wieder eine Kategorie, in der die Objekte $F$-Algebren sind. Ein initiales Objekt dieser Kategorie heißt initiale $F$-Algebra. Ist $\alpha \colon F(A)\to A$ initial, so ist $F(\alpha )\colon F^{2}(A)\to F(A)$ als $F$-Algebra isomorph zu $\alpha$, wie das Diagramm

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\begin{matrix}F(A)&{\xrightarrow {\ F(?)\ }}&F^{2}(A)&{\xrightarrow {\ F(\alpha )\ }}&F(A)\\\alpha {\Bigg \downarrow }&&{\Bigg \downarrow }F(\alpha )&&{\Bigg \downarrow }\alpha \\A&{\xrightarrow {\quad ?\quad }}&\!\!\!F(A)&{\xrightarrow {\quad \alpha \quad }}&\!\!\!A\end{matrix}}}

zeigt. Es sei $?\colon A\to F(A)$ der einzige Homomorphismus von $\alpha$ nach $F(\alpha )$. Deshalb kommutiert das linke Rechteck. Das rechte kommutiert trivialerweise. Somit kommutiert das äußere Rechteck und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \alpha \circ {?}} ist ein $F$-Algebra-Homomorphismus von $\alpha$ nach $\alpha$. Da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha} aber initial ist, muss Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha\circ{?}= \operatorname{id}_A} sein. Andererseits ist aufgrund des linken Rechtecks und der soeben gefundenen Gleichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {?}\circ\alpha = F(\alpha)\circ F(?) = F(\alpha\circ{?}) = F(\operatorname{id}_A) = \operatorname{id}_{F(A)}} .

Die Bedeutung initialer Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} -Algebren liegt nun darin, dass gewisse rekursive Strukturen in geordneter Weise abgebildet werden können. Ist nämlich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha\colon F(A)\to A} eine initiale Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} -Algebra, und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta\colon F(B)\to B} eine beliebige andere $F$-Algebra, so existiert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha^{-1}} und es gibt genau einen Morphismus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h\colon A\to B} , der Lösung der Gleichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h = \beta\circ F(h)\circ \alpha^{-1}} ist. Dieser heißt Katamorphismus.

Existenzsätze für initiale Algebren

• In Set_C, der Kategorie abzählbarer Mengen und Funktionen, existiert zu jedem Endofunktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} eine initiale Algebra.
• In Rel_C, der Kategorie abzählbarer Mengen und Relationen, existiert zu jedem Endofunktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} eine initiale Algebra.

Literatur

Adámek et al.: Initial algebras and terminal coalgebras: a survey

B. Jacobs, J.Rutten: A Tutorial on (Co) Algebras and (Co) Induction. Bulletin of the European Association for Theoretical Computer Science (PDF-Datei; 426 kB), vol. 62, 1997