Feedback Vertex Set

Der Begriff Feedback Vertex Set bzw. kreiskritische Knotenmenge bezeichnet in der Komplexitätstheorie ein graphentheoretisches Entscheidungsproblem, das NP-vollständig ist.

Definition

Es fragt, ob es zu einem ungerichteten Multigraphen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G = (V, E)} , einer Gewichtsfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle w\colon V \mapsto \mathbb{Q}^{+}} und einer positiven Zahl Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle u\in \mathbb {Q} ^{+}} eine Teilmenge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V' \subseteq V} der Knotenmenge gibt, so dass jeder Kreis in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} mindestens einen Knoten aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V'} enthält und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{v \in V'} w(v) \leq u}

gilt. Die Teilmenge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V'} wird das Feedback Vertex Set genannt.

Weist die Gewichtsfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle w} jedem Knoten das gleiche Gewicht zu, wird nur nach einer Teilmenge mit minimaler Knotenanzahl gesucht und man spricht vom Cardinality FVS. Das Problem für gerichtete Graphen heißt Directed FVS. Wird zusätzlich eine Teilmenge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S \subseteq V} der Knoten übergeben und eine Knotenmenge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V'} gesucht, so dass durch Entfernen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V'} aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} kein Knoten $s\in S$ mehr auf einem Kreis liegt, spricht man vom Subset FVS. Kreise, die keinen Knoten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s \in S} enthalten, sind im Subset FVS erlaubt.

Feedback Vertex Set hat Anwendungen im VLSI-Chipdesign, in der Programmverifizierung und bei der Beseitigung einer Verklemmung (deadlock).

Komplexität

Feedback Vertex Set gehört zu den ersten 21 Problemen, deren NP-Vollständigkeit von Richard Karp gezeigt wurde. Der Beweis erfolgte durch Reduktion des Knotenüberdeckungsproblems auf FVS:

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G = (V, E)} ein ungerichteter Graph und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k \in \mathbb{Q}^{+}} . Konstruiere einen gerichteten Graphen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G' = (V, E')} , wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (u, v) \in E'} genau dann, wenn ${u,v}\in E$. Dann existiert genau dann eine Knotenüberdeckung mit Gewicht Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \leq k} für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} , wenn ein FVS mit Gewicht Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \leq k} für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G'} existiert.

Karp zeigte die NP-Vollständigkeit also ursprünglich für gerichtete Graphen; die ungerichtete Version ist aber ebenfalls NP-vollständig; der Nachweis kann mit demselben Beweis erbracht werden, nur dass $G'$ nicht mehr gerichtet, sondern ein ungerichteter Multigraph ist und jede Kante von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G'} doppelt vorkommt.

Das Problem bleibt sogar für gerichteten Graphen mit maximalem Eingangsgrad 2 und für gerichtete ebene Graphen mit maximalem Eingangsgrad 3 NP-vollständig.

Das Problem, Kanten zu löschen, um einen ungerichteten Graphen kreisfrei zu machen, ist äquivalent zur Suche eines minimalen Spannbaums, der in Polynomialzeit gefunden werden kann. Dasselbe Problem für gerichtete Graphen heißt Feedback Arc Set und ist ebenfalls NP-vollständig.

Das entsprechende Optimierungsproblem, die Gewichtssumme der Vektoren des FVS zu minimieren, ist APX-vollständig. Der beste bekannte Algorithmus hat eine Approximationsgüte von 2.

Quellen

• Richard M. Karp. "Reducibility Among Combinatorial Problems." In Complexity of Computer Computations, Proc. Sympos. IBM Thomas J. Watson Res. Center, Yorktown Heights, N.Y. New York: Plenum, S. 85–103. 1972.
• Michael R. Garey and David S. Johnson: Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness. W.H. Freeman, 1979, ISBN 0-7167-1045-5. A1.1: GT7, pg.191.

Karps 21 NP-vollständige Probleme

Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik | Cliquenproblem | Mengenpackungsproblem | Knotenüberdeckungsproblem | Mengenüberdeckungsproblem | Feedback Arc Set | Feedback Vertex Set | Hamiltonkreisproblem | Integer Linear Programming | 3-SAT | graph coloring problem | Covering by cliques | Problem der exakten Überdeckung | 3-dimensional matching | Steinerbaumproblem | Hitting set | Rucksackproblem | Job sequencing | Partitionsproblem | Maximaler Schnitt