Fejér-Polynome

In der Mathematik ist für eine $2\pi$-periodische, stetige Funktion $f$, das heißt $f\in C_{2\pi }$, das $n$-te Fejér-Polynom Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_n(f)} definiert durch

$\sigma _{n}(f)(x):=\sum _{k=-n}^{n}\left(1-{\frac {\left|k\right|}{n+1}}\right){\hat {f}}(k)\,\mathrm {e} ^{ikx},$

wobei

${\hat {f}}(k):={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\,\mathrm {e} ^{-ikt}\mathrm {d} t$

der $k$-te Fourier-Koeffizient ist. Mit Hilfe dieser trigonometrischen Polynome lieferte Fejér einen konstruktiven Beweis für den Satz von Weierstraß, der aussagt, dass jede $2\pi$-periodische, stetige Funktion durch trigonometrische Polynome gleichmäßig approximiert werden kann. Diese Aussage wird auch als Satz von Fejér bezeichnet.

Konvergenzaussagen – Satz von Fejér

→ Hauptartikel: Satz von Fejér

Fejér führte den Beweis über das (erste) arithmetische Mittel der Partialsummen der Fourierreihe

$\sigma _{n}(f)(x)={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}S_{k}(f)(x),$

wobei

$S_{k}(f)(x):=\sum _{j=-k}^{k}{\hat {f}}(j)\,\mathrm {e} ^{ijx}$

die $k$-te Partialsumme ist, indem er zeigte:

Für jede $2\pi$-periodische, stetige Funktion $f$ konvergiert die Folge der Fejér-Polynome $\sigma _{n}(f)$ gleichmäßig gegen $f$, d. h.

$f\in C_{2\pi }\Rightarrow \lim \limits _{n\to \infty }\|\sigma _{n}(f)-f\|_{C_{2\pi }}=\lim \limits _{n\to \infty }\left(\max \limits _{x\in [-\pi ,\pi ]}|\sigma _{n}(f)(x)-f(x)|\right)=0.$

Fejér-Kern

Der n-te Fejér-Kern $\sigma _{n}(x)$ ist definiert durch

$\sigma _{n}(x):=\sum _{k=-n}^{n}\left(1-{\frac {\left|k\right|}{n+1}}\right)\mathrm {e} ^{ikx}$.

Faltung

Die Fejér-Polynome lassen sich als Faltung mit dem Fejér-Kern darstellen. Es gilt

$\sigma _{n}(f)(x)=(\sigma _{n}*f)(x):={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\sigma _{n}(x-t)\mathrm {d} t$

Arithmetisches Mittel des Dirichlet-Kerns

Aus der Interpretation der Fejér-Polynome als (erstes) arithmetisches Mittel der Partialsummen folgt die Darstellung des Fejér-Kerns als arithmetisches Mittel des Dirichlet-Kerns

$\sigma _{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}D_{k}(x)$

wobei der Dirichlet-Kern definiert ist über

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D_n(x) := \sum_{k=-n}^{n} \mathrm e^{ikx} }

Positiver reeller Kern

Neben der Summenschreibweise über komplexe Funktionen lässt sich der Fejér-Kern auch in einer geschlossenen Form darstellen. Hierzu wird verwendet, dass der Dirichlet-Kern die Darstellung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D_k(x) = 1 +2\sum_{j=1}^k \cos(j x) = \frac{\sin\left(\frac{2k+1}{2}x\right)}{\sin(x/2)} }

besitzt. Mit Hilfe des obigen Zusammenhangs des Fejér-Kerns mit den Dirichlet-Kernen und der Regel

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{k=0}^n \sin\left(\frac{2k+1}{2}x\right) = \frac{\sin^2\left(\frac{n+1}{2}x\right)}{\sin\left(x/2\right)} }

ergibt sich die folgende geschlossene Darstellung des Fejér-Kerns.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_n(x) = \begin{cases} \frac{1}{n+1} \left(\frac{\sin\left(\frac{n+1}{2}x\right)}{\sin(\frac{x}{2})}\right)^2 &,x \neq 2j\pi \\ n + 1 &,x = 2j\pi \end{cases}, j \in \Z }

Aufgrund der daraus ersichtlichen Positivität des Fejér-Kern kann für den Nachweis der gleichmäßigen Konvergenz der Fejér-Polynome der Satz von Bohman-Korowkin angewendet werden, der besagt, dass aus der gleichmäßigen Konvergenz der Testfunktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sin} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cos} die gleichmäßige Konvergenz für alle Funktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f \in C_{2\pi}} folgt.

Konvergenz in anderen Funktionenräumen

Auch für nichtstetige Funktionen anderer Funktionenräume, z. B. der Lebesgue-integrierbaren Funktionen, lassen sich Aussagen zur Approximierbarkeit angeben.

Quantitative Aussagen

Für Hölder-stetige Funktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} lassen sich direkte Abschätzungen zum Konvergenzverhalten der Fejér-Polynome angeben.

Gehört Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} für ein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0 < \alpha \leq 1} zur Klasse der Hölder-stetigen Funktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C^\alpha} , d. h.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \|f(\cdot + h) - f(\cdot)\|_{C_{2\pi}} = \mathcal O(|h|^\alpha), h \to 0, }

so gelten die folgenden quantitativen Approximationsaussagen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \|\sigma_n(f) - f\|_{C_{2\pi}} = \begin{cases} \mathcal O(|\frac{1}{n}|^\alpha) &,0 < \alpha < 1 \\ \mathcal O\left(\frac{\log(n)}{n}\right) &, \alpha = 1 \end{cases}, n \to \infty }

Literatur

• N. I. Achieser: Vorlesungen über Approximationstheorie. Akademie-Verlag, Berlin 1953.
• P. L. Butzer, R. J. Nessel: Fourier Analysis And Approximation, Vol. 1: One-Dimensional Theory. Birkhäuser, Basel 1971.
• Leopold Fejér: Über trigonometrische Polynome. In: J. Reine Angew. Math. Band 146, 1916, Seiten 53–82.
• Leopold Fejér: Gestaltliches über die Partialsummen und ihre Mittelwerte bei der Fourierreihe und der Potenzreihe. In: Z. Angew. Math. Mech. Band 13, 1933, Seiten 80–88.
• Antoni Zygmund: Trigonometric Series. Cambridge University Press, Cambridge 1968, 2nd Edition.