FitzHugh-Nagumo-Modell

Das FitzHugh-Nagumo-Modell (nach Richard FitzHugh (* 1922) und J. Nagumo, die das Modell unabhängig voneinander entwickelten) beschreibt einen Prototyp eines anregbaren Systems, zum Beispiel eines Neurons oder Axons. Wenn die äußere Anregung $I_{\rm {ext}}$ einen Schwellenwert überschreitet, führt das System eine charakteristische Exkursion im $(v,w)$-Phasenraum aus, bevor die Variablen $v$ und $w$ zu ihren Ruhewerten $(v_{0},w_{0})$ zurückkehren. Dieses Verhalten ist modellhaft für die Generation von Spikes (=kurzzeitige Erhöhung der Membranspannung $v$) in einem Neuron nach Stimulation durch einen externen Strom $I_{\rm {ext}}$.

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Spike-Dynamik des FitzHugh-Nagumo-Modells nach kurzer Anregung $I_{\rm {ext}}\neq 0$

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Nullklinen des FitzHugh-Nagumo-Modells (blau) sowie Beispieltrajektorie (rot)

Notation:

• $v$ bezeichnet das Membranpotential
• $w$ ist eine Erholungs-Variable, die einen zur Erholung nach der elektrischen Anregung notwendigen negativen Feedback mit linearer Dynamik beschreibt.
• $I_{\rm {ext}}$ ist der externen Strom.
• $a,b$ sind Konstanten.

Die Gleichungen dieses dynamischen Systems lauten

${\dot {v}}=v-{\frac {1}{3}}v^{3}-w+I_{\rm {ext}}$

$\tau {\dot {w}}=v-a-bw$

Die Anregungs-Dynamik kann mithilfe der Nullklinen anschaulich dargestellt werden. Der stationäre Punkt $(v_{0},w_{0})$ (Ruhewerte) ist der Schnittpunkt der ${\dot {v}}$- und der ${\dot {w}}$-Nullklinen. Wird das System für kurze Zeit angeregt ($I_{\rm {ext}}\neq 0$), beschreibt es eine Exkursion im Phasenraum, die sich in vier Stadien einteilen lässt: zunächst beschreibt die Trajektorie eine fast horizontale Trajektorie, da wegen $\tau \gg 1$ gilt ${\dot {v}}\gg {\dot {w}}$. Sobald die Trajektorie die kubische ${\dot {v}}$-Nullkline erreicht, sinkt ${\dot {v}}$ rapide und die Trajektorie folgt der ${\dot {v}}$-Nullklinen. Am oberen Scheitelpunkt der ${\dot {v}}$-Nullklinen, erfolgt eine weitere horizontale Passage zum linken Ast der ${\dot {v}}$-Nullkline, und anschließend eine erneute Phase, in der die Trajektorie dieser Nullklinen folgt.

Das FitzHugh-Nagumo-Modell, welches detailliert die Aktivierungs- und Deaktivierungsdynamik in einem spikenden Neuron abbildet, ist eine vereinfachte Version des Hodgkin-Huxley-Modell. In den Original-Artikeln von FitzHugh wird dies Modell auch als Bonhoeffer-van-der-Pol-Oszillator bezeichnet, da es den Van-der-Pol-Oszillator als Spezialfall für $a=b=0$ enthält.

Literatur

• R. FitzHugh: Mathematical models of threshold phenomena in the nerve membrane. Bull. Math. Biophysics, Band 17, 1955, S. 257–278
• R. FitzHugh: Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane. Biophysical J., Band 1, 1961, S. 445–466
• R. FitzHugh: Mathematical models of excitation and propagation in nerve, in: H.P. Schwan, Hrsg., Biological Engineering, McGraw-Hill Book Co., N.Y. 1969, S. 1–85 (Kapitel 1)
• J. Nagumo, S. Arimoto, S. Yoshizawa: An active pulse transmission line simulating nerve axon. Proc IRE., Band 50, 1962, S. 2061–2070.
• Eugene Izhikevich, Richard Fitzhugh: FitzHugh-Nagumo model, Artikel. In: Scholarpedia. (englisch, inkl. Literaturangaben), 2006

Weblinks

• Artikel. In: Scholarpedia. (englisch, inkl. Literaturangaben) von Eugene Izhikevich, Richard Fitzhugh 2006