Oberflächengradient

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In der Vektoranalysis bezeichnet der Oberflächengradient einen Differentialoperator ähnlich dem Gradienten. Dabei wird der Gradient entlang einer Fläche gebildet.

Definition

Für eine Fläche Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} in einem Skalarfeld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u} wird der Oberflächengradient definiert als [1]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nabla_S u = \nabla u - (\mathbf{\hat n} \cdot \nabla u)\mathbf{\hat n} } .

Dabei bezeichnet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{\hat n}} den Normaleneinheitsvektor an die Fläche. Der Oberflächengradient stellt also den gewöhnlichen Gradienten ohne den zur Fläche normalen Anteil dar. Er ist daher tangential zur Fläche. Der Oberflächengradient kann auch als orthogonale Projektion des Gradienten auf die Fläche interpretiert werden.

In der Tensoranalysis wird der Oberflächengradient oft definiert als:[2]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nabla_{s} = P \cdot \nabla}

mit dem Flächenprojektionstensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} .

Man kann diesen Gradienten jedoch auch allgemeiner definieren.

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi} ein Skalarfeld. Man wendet das tangentiale Vektorfeld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nabla_{(\sigma)} \phi} mit einem Skalarprodukt an einen beliebigen Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{c}} an, dann ist der Oberflächengradient eines Skalarfeldes wie folgt definiert:[3]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nabla_{(\sigma)} \phi \cdot \mathbf{c} := \lim_{s \to 0} \frac{1}{s} \left\{\phi \left(y^{1} + sc^{1} , y^{2} + sc^{2} \right) - \phi \left(y^{1} , y^{2} \right) \right\} }

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{v}} ein räumliches Feld und sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nabla_{(\sigma)} \mathbf{v}} ein Tensorfeld 2. Stufe. Dann transformiert dieses Tensorfeld ein beliebiges tangentiales Vektorfeld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{c}} in allen Punkten auf der Oberfläche und der Oberflächengradient eines räumlichen Feldes ist folgendermaßen definiert:[4]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nabla_{(\sigma)} \mathbf{v} \cdot \mathbf{c} := \lim_{s \to 0} \frac{1}{s} \left[\mathbf{v} \left(y^{1} + sc^{1} , y^{2} + sc^{2} \right) - \mathbf{v} \left(y^{1} , y^{2} \right) \right] }

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A}} ein Tensorfeld 2. Stufe und sein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nabla_{(\sigma)} \mathbf{A}} ein Tensorfeld 3. Stufe. Dann transformiert dieses Tensorfeld ein beliebiges tangentiales Vektorfeld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{c}} in allen Punkten auf der Oberfläche und der Oberflächengradient eines Tensorfeldes 2. Stufe ist folgendermaßen definiert:[5]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nabla_{(\sigma)} \mathbf{A} \cdot \mathbf{c} := \lim_{s \to 0} \frac{1}{s} \left[\mathbf{A} \left(y^{1} + sc^{1} , y^{2} + sc^{2} \right) - \mathbf{A} \left(y^{1} , y^{2} \right) \right] }

Einzelnachweise

  1. ↑ R. Shankar Subramanian, Boundary Conditions in Fluid Mechanics (PDF; 34 kB).
  2. ↑ Efstathios Michaelides, Clayton T. Crowe, John D. Schwarzkopf: Multiphase Flow Handbook. 2. Auflage. CRC Press, 2016, ISBN 978-1-4987-0100-6, S. 940.
  3. ↑ John C. Slattery Leonard SagisEun-Suok Oh: Interfacial Transport Phenomena. Springer International Publishing AG, Boston, ISBN 978-0-387-38442-9, S. 624 ff.
  4. ↑ John C. Slattery Leonard SagisEun-Suok Oh: Interfacial Transport Phenomena. Springer International Publishing AG, Boston, ISBN 978-0-387-38442-9, S. 647 ff.
  5. ↑ John C. Slattery Leonard SagisEun-Suok Oh: Interfacial Transport Phenomena. Springer International Publishing AG, Boston, ISBN 978-0-387-38442-9, S. 660 ff.
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