Tensorfeld

Ein Tensorfeld (unpräzise auch Tensor genannt) wird im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie im Besonderen in der Tensoranalysis untersucht. Es handelt sich um eine Funktion, die auf spezielle Weise jedem Punkt eines zugrundeliegenden Raumes einen Tensor zuordnet.

Definition

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} eine glatte Mannigfaltigkeit und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle T_{s}^{r}(M)} ein (r,s)-Tensorbündel. Ein (r,s)-Tensorfeld ist ein glatter Schnitt im Tensorbündel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T^r_s(M)} . Die Menge der Tensorfelder wird mit $\Gamma ^{\infty }(T_{s}^{r}(M))$ bezeichnet. Diese Menge ist ein Modul über der Algebra Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C^\infty(M) = \Gamma^\infty(T^0_0(M))} der glatten Funktionen.

Beispiele

Sei M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, so ist ein Tensorfeld auf M eine Abbildung, die jedem Punkt einen Tensor zuordnet.

• Riemannsche Metriken sind (0,2)-Tensorfelder.
• Der riemannsche Krümmungstensor ist ein (1,3)-Tensorfeld, das mithilfe der riemannschen Metrik als ein (0,4)-Tensorfeld aufgefasst werden kann.
• Differentialformen vom Grad k, insbesondere das totale Differential einer Funktion im Fall k=1, sind Schnitte von $\textstyle \bigwedge ^{k}\mathrm {T} ^{*}M\subseteq (\mathrm {T} ^{*}M)^{\otimes k}.$ Hierbei bezeichnet $T^{*}M$ das Kotangentialbündel. Für weitere Informationen siehe auch unter Äußere Algebra nach.
• Der Energie-Impuls-Tensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T^{\alpha \beta}} und der elektromagnetische Feldstärketensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F^{\alpha \beta}} (als Beispiel eines Feldstärketensors) in der Relativitätstheorie sind Tensorfelder zweiter Stufe auf der vierdimensionalen Basis des Minkowski-Raums.
• die Spin-Gruppe, deren Darstellungen die oft verwendeten Spinorfelder sind, wird üblicherweise als Teilmenge der Tensorfelder mit Werten in der Clifford-Algebra konstruiert.

Siehe auch

• Rekurrenter Tensor

Quelle

• R. Abraham, J. E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, Tensor Analysis, and Applications (= Applied Mathematical Sciences 75). 2nd Edition. Springer-Verlag, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7.

Weblinks

Commons

Commons: Tensor fields – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Hendrik van Hees: Physik-FAQ für die deutschsprachigen Physik-Newsgroups https://web.archive.org/web/20160304062557/http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/geo/node10.html

alternativ: uni-frankfurt.de/~hees