Tangentialbündel

Hier wird das Tangentialbündel des Kreises illustriert. Das erste Bild zeigt die Tangentialräume am Kreis und im zweiten Bild werden diese Räume zu einem Bündel zusammengefasst.

Tangentialbündel ist ein Begriff aus der Differentialgeometrie und Differentialtopologie. Es handelt sich um die disjunkte Vereinigung aller Tangentialräume. Hat das Tangentialbündel eine besonders einfache Struktur, dann nennt man die zugrundeliegende Mannigfaltigkeit parallelisierbar.

Definition

Das Tangentialbündel $TM$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$ ist ein Vektorbündel. Als Menge ist es als die disjunkte Vereinigung aller Tangentialräume von $M$ definiert:

$TM:=\bigsqcup _{p\in M}T_{p}M:=\bigcup _{p\in M}\{p\}\times T_{p}M.$

Die Vektorraumstruktur in den Fasern $\{p\}\times T_{p}M$ ist die von den Tangentialräumen geerbte Struktur.

Ist M eine $n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und U eine offene, zusammenziehbare Umgebung von $p\in M$, dann ist TU diffeomorph zu $U\times \mathbb {R} ^{n},$ das heißt lokal ist das Tangentialbündel TM diffeomorph zu $\mathbb {R} ^{2n}$.

Ein Tangentialbündel erhält durch die zugrunde liegende Mannigfaltigkeit wieder eine differenzierbare Struktur. Man nennt einen Atlas des Tangentialbündels, in dem alle Karten die Form $U\times \mathbb {R} ^{n}$ haben, eine lokale Trivialisierung. Die Topologie und differenzierbare Struktur bekommt das Tangentialbündel durch eine lokale Trivialisierung.

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit $M$ mit trivialem Tangentialbündel (das heißt $TM$ ist als Bündel isomorph zu $M\times \mathbb {R} ^{n}$) nennt man parallelisierbar.

Beispiele

Parallelisierbare Mannigfaltigkeiten

• $M=\mathbb {R} ^{n}$, das Tangentialbündel ist $TM=\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{2n}.$
• Sei $S^{1}=\{x\in \mathbb {R} ^{2}:\left\|x\right\|=1\}$ die 1-Sphäre. Das Tangentialbündel ist der unendlich lange Zylinder, das heißt $TS^{1}=S^{1}\times \mathbb {R} .$
• Jede endlichdimensionale Lie-Gruppe $G$, denn man kann eine Basis für den Tangentialraum $T_{e}G$ am neutralen Element $e$ wählen und dann durch die Gruppenwirkung über ganz $G$ transportieren, um eine Trivialisierung von $TG$ zu erhalten.
• Jede orientierbare geschlossene $3$-Mannigfaltigkeit.

Nichttriviale Tangentialbündel

• $TS^{2}$ mit $S^{2}=\{x\in \mathbb {R} ^{3}:\left\|x\right\|=1\}$, denn nach dem Satz vom Igel gibt es auf der $2$-Sphäre kein nirgendwo verschwindendes, stetiges tangentiales Vektorfeld.
• Raoul Bott und John Milnor bewiesen 1958 als Konsequenz aus dem Bott-Periodizitätssatz, dass $S^{1},S^{3}$ und $S^{7}$ die einzigen parallelisierbaren Sphären sind.

Natürliche Projektion

Die natürliche Projektion ist eine glatte Abbildung

$\pi \colon TM\to M\,$

definiert durch

$(p,v)\mapsto p.$

Dabei ist $p\in M$ und $v\in T_{p}M$. Es gilt also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \;\pi^{-1} (p) = T_pM } für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p\in M } .

Kotangentialbündel

Analog zum Tangentialbündel ist auch das Kotangentialbündel definiert. Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_pM} ihr Tangentialraum am Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p \in M} , so wird mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_p^*M} der Dualraum des Tangentialraums, den man Kotangentialraum nennt, bezeichnet. Das Kotangentialbündel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T^*M} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} ist nun als disjunkte Vereinigung der Kotangentialräume definiert. Das heißt, es gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T^*M:=\bigsqcup_{p\in M}T_p^*M.}

Auch auf dem Kotangentialbündel lässt sich auf natürliche Weise wieder eine differenzierbare Struktur definieren.

Einheits-Tangentialbündel

→ Hauptartikel: Einheits-Tangentialbündel

Das Einheits-Tangentialbündel einer riemannschen Mannigfaltigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (M,g)} mit riemannscher Metrik Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} besteht aus allen Tangentialvektoren der Länge 1:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T^1M = \left\{ v \in TM \mid g(v,v) = 1 \right\}.}

Das Einheits-Tangentialbündel ist ein Faserbündel, aber kein Vektorraumbündel. Da die Fasern

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T^1_p M = T^1 M \cap T_p M}

diffeomorph zu einer Sphäre sind, spricht man auch von einem Sphärenbündel.

Vektorfelder

→ Hauptartikel: Vektorfeld

Ein Vektorfeld auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} ist eine Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V \colon M \to TM} , die jedem Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p \in M} einen Tangentialvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v \in T_p M} mit Fußpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} zuordnet. In der Differentialtopologie und der Differentialgeometrie betrachtet man vor allem glatte Vektorfelder, also solche, die glatte Abbildungen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle TM} sind.

Literatur

• John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY 2003, ISBN 0-387-95448-1.
• R. Abraham, Jerrold E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications (= Applied mathematical sciences 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7.