Feldstärketensor

Ein Feldstärketensor beschreibt die Felder in Eichtheorien. Das bekannteste Beispiel ist der elektromagnetische Feldstärketensor für die Eichtheorie der Elektrodynamik, der das elektrische und magnetische Feld beschreibt. Feldstärketensoren werden vor allem in Quantenfeldtheorien angewendet.

Dabei ist der Feldstärketensor kein Tensor im eigentlichen mathematischen Sinne, da seine Komponenten keine reellen Zahlen sind, sondern Elemente der zur Eichgruppe zugehörigen Lie-Algebra.

Allgemein

Wird in einer Eichtheorie die kovariante Ableitung eines Feldes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \psi} definiert als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D_{\mu}\psi = (\partial_{\mu}+A_{\mu})\psi} ,

wobei

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_{\mu}} ein Matrixpotential der Form Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_{\mu} = -it^aA^a_{\mu}} ist mit
  • hermiteschen Matrizen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t^a} und
  • reellen Funktionen $A_{\mu }^{a}$ der Raumzeit,

so ergibt sich der Feldstärketensor dieser Theorie zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} F_{\mu\nu} & = D_{\mu}A_{\nu}-D_{\nu}A_{\mu}\\ & = -it^a(\partial_{\mu}A^a_{\nu}-\partial_{\nu}A^a_{\mu}+f^{abc}A^b_{\mu}A^c_{\nu}), \end{align}}

wobei die reellen Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f^{abc}} aus dem Kommutator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [t^a,t^b]=if^{abc}t^c} stammen.

Die Lagrangedichte $L$ für das Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_{\mu}} -Feld kann dann gewählt werden als $L\propto F_{\mu \nu }^{a}F^{a\mu \nu }$, dies ist die Yang-Mills-Lagrangedichte.

Elektromagnetismus

Für die Quantenelektrodynamik entspricht Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_{\mu}} dem bekannten Vektorpotential. Da dessen Komponenten vertauschen, vereinfacht sich der Feldstärketensor zur Form

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}}

Zu dessen weiteren Eigenschaften siehe Elektromagnetischer Feldstärketensor.

Literatur

• V. Parameswaran Nair: Quantum Field Theory - A Modern Perspective, Springer 2005 - Kapitel 10.1