Fluss eines Vektorfeldes

In der Mathematik beschreibt der Fluss eines Vektorfeldes die Bewegung entlang der Lösungskurven der durch das Vektorfeld gegebenen gewöhnlichen Differentialgleichung.

Definition

Sei $F$ ein $C^{1}$-Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ (oder allgemeiner auf einer offenen Teilmenge einer Mannigfaltigkeit). Nach dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz für gewöhnliche Differentialgleichungen gibt es für jedes $x_{0}\in U$ eine eindeutige maximale Lösung

$x\colon (a(x_{0}),b(x_{0}))\to \mathbb {R}$

der Differentialgleichung

${\dot {x}}(t)=F(x(t)),\quad x(0)=x_{0}$.

Hierbei ist $(a(x_{0}),b(x_{0}))$ das (eventuell unendliche) maximale Intervall, auf dem eine Lösung definiert ist. Wir bezeichnen diese vom Startwert $x_{0}$ abhängende Kurve mit $\gamma _{x_{0}}$.

Sei $\Sigma _{F}=\left\{(t,x)\in \mathbb {R} \times U\colon a(x)<t<b(x)\right\}$. Dann heißt die durch

$\Phi (t,x):=\gamma _{x}(t)$

gegebene Abbildung $\Phi \colon \Sigma _{F}\to U$ der Fluss des Vektorfeldes $F$.

Eigenschaften

Vektorfeld F(x,y)=(-y,x)

Der Fluss eines Vektorfeldes ist ein Fluss, d. h. eine einparametrige Transformationsgruppe. Es gilt also

$\Phi (0,x)=x$

und

$\Phi (s+t,x)=\Phi (s,\Phi (t,x))$

für alle $x\in U$.

Beispiel

Der Fluss des auf dem $\mathbb {R} ^{2}$ definierten Vektorfeldes

$F(x,y)=(-y,x)$

ist gegeben durch

$\Phi (t,(x,y))=(\cos(t)x+\sin(t)y,-\sin(t)x+\cos(t)y)$.

Vollständige Vektorfelder

Das Vektorfeld $F$ heißt ein vollständiges Vektorfeld, wenn sein Fluss für alle Zeiten definiert, also

$a(x_{0})=-\infty ,b(x_{0})=\infty$

für alle $x_{0}\in U$, oder äquivalent $\Sigma _{F}=\mathbb {R} \times U$ ist.

Vektorfelder mit kompaktem Träger sind stets vollständig. Dies gilt insbesondere für Vektorfelder auf kompakten Mannigfaltigkeiten.

Literatur

• John Lee: „Introduction to smooth manifolds“, Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-21752-9
• Vladimir Arnold: „Ordinary differential equations“, Universitext, Springer, ISBN 978-3-540-34563-3

Weblinks

• Flow of a Vectorfield (nLab)