Freies Objekt
Freie Objekte werden in der abstrakten Algebra untersucht. Es handelt sich um algebraische Strukturen, in denen nur diejenigen Gleichungen gelten, die aus den definierenden Axiomen der algebraischen Struktur folgen, die also frei von weiteren Relationen sind. In der Kategorientheorie definiert man freie Objekte durch eine universelle Eigenschaft.
Definition
Es sei eine konkrete Kategorie mit dem Vergissfunktor . Gegeben seien ferner eine Menge , ein Objekt aus und eine injektive Abbildung . Das Paar heißt frei über , wenn folgende universelle Eigenschaft erfüllt ist:
Für jedes Objekt aus und jede Abbildung gibt es genau einen Morphismus mit , das heißt, dass das folgende Diagramm kommutativ ist:[1][2]
Oft ist und die Inklusionsabbildung. Dann lässt man weg und nennt, etwas ungenau, das freie Objekt über .
Eindeutigkeit
Sind frei über und frei über und sind und gleichmächtig, so sind und isomorph.[3][4] Wenn es also freie Objekte gibt, so sind diese bis auf Isomorphie eindeutig und hängen nur von der Mächtigkeit der Menge ab.
Beispiele
Der wohl bekannteste Fall ist die Kategorie der Vektorräume über einem festen Körper Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} mit den K-linearen Abbildungen als Morphismen. Der Vergissfunktor bildet einen Vektorraum auf die Menge der Elemente des Vektorraums ab, vergisst also die Vektorraumstruktur. Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} eine Menge, so gibt es einen über Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} freien Vektorraum. Dazu betrachte den Vektorraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} aller Abbildungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\colon X\rightarrow K} mit endlichem Träger. Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i_x \in E} die Abbildung, die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} auf 1 und jedes andere Element aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} auf 0 abbildet, so ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i\colon X\rightarrow E, x\mapsto i_x} eine injektive Abbildung und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (E,i)} ist frei über Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} im Sinne obiger Definition. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{i_x\mid x\in X\}} ist eine Basis von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} . Der Eindeutigkeitssatz ist hier nichts weiter als der bekannte Satz, dass Vektorräume mit gleichmächtigen Basen isomorph sind. Hier gibt es noch die Besonderheit, dass jeder Vektorraum frei ist, denn jeder Vektorraum hat eine Basis und ist frei über jeder Basis.
Weitere Beispiele sind
- Freie abelsche Gruppe
- Freie assoziative Algebra
- Freie Gruppe
- Freie Lie-Algebra
- Freies Magma
- Freier Modul
- Freies Monoid
Freiheit als Funktor
Die Konstruktion des freien Objekts über einer Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} ordnet jeder Menge ein Objekt der gegebenen Kategorie zu, falls freie Objekte in der Kategorie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{K}} existieren, etwa Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X\mapsto F(X)} mit Abbildungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i_X\colon X\rightarrow V(F(X))} . Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha\colon X\rightarrow Y} eine Abbildung in der Kategorie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{Set}} , so gibt es zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i_Y\circ \alpha\colon X\rightarrow V(F(Y))} definitionsgemäß genau einen Morphismus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g_\alpha\colon F(X) \rightarrow F(Y)} , so dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i_Y\circ \alpha=V(g_\alpha)\circ i_X} , das heißt, dass das Diagramm
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{ccc} X & \xrightarrow{\alpha} &Y \\ \downarrow_{i_X} & & \downarrow_{i_Y} \\ V(F(X)) & \xrightarrow{V(g_\alpha)} & V(F(Y)) \end{array} }
kommutativ ist. Setzt man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(\alpha) := g_\alpha} , so erhält man einen Funktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F\colon\mathrm{Set}\rightarrow \mathrm{K}} , der linksadjungiert zum Vergissfunktor ist. Man kann Freiheit umgekehrt als linksadjungierten Funktor zum Vergissfunktor definieren.[5]
Einzelnachweise
- ↑ Ulrich Knauer, Kolja Knauer: Diskrete und algebraische Strukturen - kurz gefasst, Springer-Verlag (2015), ISBN 978-3-662-45176-2, Kapitel 11.4: Freiheit
- ↑ Thomas W. Hungerford: Algebra, Springer-Verlag (1974), ISBN 978-1-4612-6103-2, Kapitel I §7, Definition 7.7
- ↑ Ulrich Knauer, Kolja Knauer: Diskrete und algebraische Strukturen - kurz gefasst, Springer-Verlag (2015), ISBN 978-3-662-45176-2, Satz 11.13
- ↑ Thomas W. Hungerford: Algebra, Springer-Verlag (1974), ISBN 978-1-4612-6103-2, Kapitel I §7, Satz 7.8
- ↑ P.J. Hilton, Urs Stammbach: A Course in Homological Algebra, Springer-Verlag (1971), ISBN 978-0-387-90033-9, Kapitel II.10: Projective, Injective and Free Objects