Fundamentalsatz der Arbitragepreistheorie

Beim Fundamentalsatz der Arbitragepreistheorie (englisch Fundamental theorem of asset pricing) handelt es sich um zwei wichtige Aussagen aus der Finanzmathematik, die in zahlreichen Finanzmarktmodellen zur Bewertung von Finanzoptionen Anwendung finden. Sie stellen notwendige und hinreichende Bedingungen bereit, ob im Marktmodell Arbitragemöglichkeiten existieren und ob der Markt vollständig ist. Der Satz wurde vollständig von den Mathematikern Freddy Delbaen und Walter Schachermayer bewiesen.

Der Fundamentalsatz besteht aus zwei Teilen, die als erster und zweiter Fundamentalsatz der Arbitragepreistheorie bezeichnet werden. Der erste Teil besagt, dass in einem Finanzmarktmodell genau dann Arbitragefreiheit herrscht, wenn es ein zum Marktmaß $P$ äquivalentes Martingalmaß $Q$ gibt. Arbitragefreiheit ist dabei die Eigenschaft eines Marktes, bei dem es nicht möglich ist, risikolos einen Gewinn zu erzielen. Die Aussage des zweiten Fundamentalsatzes der Arbitragepreistheorie lautet, dass ein Marktmodell genau dann vollständig ist, wenn genau ein äquivalentes Martingalmaß existiert. Damit folgt auch, dass jeder vollständige Markt arbitragefrei ist. Ein Markt heißt dabei vollständig, wenn es möglich ist, jedes Derivat mit anderen Finanzinstrumenten replizieren zu können.

Viele in der Finanzmathematik betrachtete Marktmodelle sind arbitragefrei und vollständig, so zum Beispiel das Black-Scholes-Modell oder das Cox-Ross-Rubinstein-Modell. Allgemein ist es sinnvoll, in jedem Finanzmarktmodell zu fordern, dass dieses arbitragefrei ist, obwohl in der Realität für kurze Zeit Arbitragemöglichkeiten existieren. Da ein Finanzmarktmodell Grundlage für die risikoneutrale Bewertung von Derivaten ist, wird häufig auch Vollständigkeit gefordert.

Literatur

• Nicholas H. Bingham, Rüdiger Kiesel: Risk-Neutral Valuation. Springer Verlag, London 2004.