Führungskraft (Technische Mechanik)

Unter Führungskraft wird in der technischen Mechanik zweierlei verstanden:

• Die Kraft, die aus der Führungsbeschleunigung eines beschleunigten Bezugssystems resultiert und die ohne Berücksichtigung einer Relativbewegung im Bezugssystem ermittelt werden kann, und
• die Zwangskraft, die bei gebundenen oder geführten Bewegungen durch das Führungselement ausgeübt wird, siehe Führungskraft (Physik).

Dieser Artikel befasst sich mit ersterer Bedeutung.

Führungsgeschwindigkeit und -beschleunigung

Siehe auch: Beschleunigtes Bezugssystem

Datei:Koordinatensysteme Ortsvektoren.png

Inertialsystem K und beschleunigtes Koordinatensystem K’

Im physikalischen Raum wird eine Punktmasse P betrachtet, die im Inertialsystem K den Ortsvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec r} hat und die Masse m besitzt, siehe Bild. Am Ort ${\vec {R}}$ befindet sich ein beschleunigtes Bezugssystem K’ mit Orthonormalbasis ê’_1,2,3, die sich mit der Winkelgeschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec\omega} dreht. Die Zeitableitung der Basisvektoren bildet sich mit ihr und dem Kreuzprodukt × gemäß Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \dot{\hat e}'_i=\vec\omega\times\hat e'_i} . In K’ hat P den Ortsvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle\vec r'=\sum_i \xi_i\hat e'_i=\vec r-\vec R} . Die Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit liefert die Geschwindigkeit von P und lautet in K

${\begin{aligned}{\dot {\vec {r}}}=&{\dot {\vec {R}}}+{\dot {\vec {r}}}'={\dot {\vec {R}}}+\sum _{i}{\dot {\xi }}_{i}{\hat {e}}'_{i}+\sum _{i}\xi _{i}{\dot {\hat {e}}}'_{i}={\dot {\vec {R}}}+\overbrace {\sum _{i}{\dot {\xi }}_{i}{\hat {e}}'_{i}} ^{{\vec {v}}'}+\overbrace {\sum _{i}\xi _{i}{\vec {\omega }}\times {\hat {e}}'_{i}} ^{{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'}\\\rightarrow {\vec {v}}=&\underbrace {{\dot {\vec {R}}}+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'} _{{\vec {v}}_{f}}+{\vec {v}}'={\vec {v}}_{f}+{\vec {v}}'\end{aligned}}$

Nochmalige Zeitableitung liefert die Beschleunigung in K:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \ddot{\vec r}=& \ddot{\vec R}+\overbrace{\sum_i \ddot{\xi}_i\hat e'_i}^{\vec a'} +\overbrace{\sum_i \dot{\xi}_i\dot{\hat e}'_i +\sum_i \dot{\xi}_i\vec\omega\times{\hat e}'_i}^{2\vec\omega\times\vec v'} +\overbrace{\sum_i \xi_i\dot{\vec\omega}\times{\hat e}'_i }^{\dot{\vec\omega}\times\vec r'} +\overbrace{\sum_i \xi_i\vec\omega\times\dot{\hat e}'_i }^{\vec\omega\times(\vec\omega\times\vec r')} \\\rightarrow \vec a=& \underbrace{\ddot{\vec R} +\dot{\vec\omega}\times\vec r' +\vec\omega\times(\vec\omega\times\vec r')}_{\vec a_f} +2\vec\omega\times\vec v' +\vec a' =\vec a_f+2\vec\omega\times\vec v'+\vec a' \end{align}}

Die Bewegungsanteile, die weder die Relativgeschwindigkeit ${\vec {v}}'$ noch Relativbeschleunigung ${\vec {a}}'$ enthalten, bilden die Führungsgeschwindigkeit bzw. die Führungsbeschleunigung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \vec v_f=&\dot{\vec R}+\vec\omega\times\vec r' \\ \vec a_f=&\ddot{\vec R}+\dot{\vec\omega}\times\vec r' +\vec\omega\times(\vec\omega\times\vec r') \end{align}}

Führungskraft

Mit der Führungsbeschleunigung und der Masse m der Punktmasse lässt sich die Führungskraft in Form von folgender Vektorgleichung ausdrücken:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec F_f=-m\vec a_f =-m\big(\ddot{\vec R}+\dot{\vec\omega}\times\vec r' +\vec\omega\times(\vec\omega\times\vec r')\big) =-m\ddot{\vec R}+\vec F_\text{Euler}+\vec F_\text{Zentrifugal} }

Die beiden letzten Summanden sind die Eulerkraft und die Zentrifugalkraft.

Das zweite newtonsche Gesetz „Kraft gleich Masse mal Beschleunigung“ lautet damit im Inertialsystem K

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m\vec a=m(\vec a_f+2\vec\omega\times\vec v'+\vec a')=\vec F }

Im beschleunigten Bezugssystem K' werden die Beschleunigung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a'} und neben der Kraft ${\vec {F}}$ noch Scheinkräfte wahrgenommen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m\vec a'=\vec F-m(\vec a_f+2\vec\omega\times\vec v')=\vec F+\vec F_f+\vec F_c }

mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec F} :		auf den Massenpunkt P wirkende Kraft
${\vec {F}}_{f}=-m{\vec {a}}_{f}$:		Führungskraft (Scheinkraft)
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec F_c=-2m\vec\omega\times\vec v'} :		Corioliskraft (Scheinkraft)

Wenn sich K' gleichförmig bewegt, ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ddot{\vec R}=\vec\omega=\dot{\vec\omega}=\vec0} und somit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a_f=2\vec\omega\times\vec v'=\vec0} sowie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec F_f= \vec F_c=\vec0} . K' ist ein Inertialsystem geworden, in dem keine Scheinkräfte mehr auftreten.

Beispiel

Bewegung einer Masse m entlang einer Schraubenlinie

Betrachtet wird eine Punktmasse mit der Masse m, die sich mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\dot {\varphi }}=\Omega } auf einer Schraubenlinie mit Radius R um einen Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec s} bewegt, der sich mit konstanter Translationsgeschwindigkeit Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\vec {v}}_{s}} verschiebt, siehe Bild. Das Bezugssystem K’ wird in den Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{R}=\vec{s}} gelegt mit der festen Position des Massenpunktes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{r}'=R\hat{e}_\rho} in K’. Dann lautet die Bewegungsfunktion:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{r}=\vec{s}+R\hat{e}_\rho.}

Die Basisvektoren ê_ρ,φ (schwarze Pfeile) bezeichnen wie in einem Zylinderkoordinatensystem die radiale bzw. die azimutale Richtung und die Drehachse ê_z ist zu ihnen senkrecht, sodass ê_ρ,φ,z ein Rechtssystem bilden. Mit der Winkelgeschwindigkeit ${\vec {\omega }}=\Omega {\hat {e}}_{z}$ berechnen sich die Zeitableitungen der Basisvektoren:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \dot{\hat{e}}_\rho=\vec\omega\times\hat e_\rho=\Omega\hat{e}_\varphi \quad\text{und}\quad \dot{\hat{e}}_\varphi=\vec\omega\times\hat e_\varphi=-\Omega\hat{e}_\rho .}

Damit liegen die Führungsgeschwindigkeit und -beschleunigung fest:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \vec v_f=&\dot{\vec R}+\vec\omega\times\vec r' =\vec v_s+\Omega\hat e_z\times R\hat e_\rho =\vec v_s+\Omega R\hat e_\varphi \\ \vec a_f=& \underbrace{\ddot{\vec R}}_{\vec0} +\underbrace{\dot{\vec\omega}}_{\vec0}\times\vec r' +\vec\omega\times(\vec\omega\times\vec r') = \Omega\hat e_z\times(\Omega\hat e_z\times R\hat e_\rho) = \Omega\hat e_z\times\Omega R\hat e_\varphi =-\Omega^2 R\hat e_\rho \end{align}}

Die Führungskraft

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{F}_f=-m\vec a_f=m\Omega^2 R\hat{e}_\rho}

ist die Zentrifugalkraft, die für den Beobachter in K’ scheinbar auf die Punktmasse wirkt und die er durch eine entgegengesetzte Kraft, die Zentripetalkraft, ausgleichen muss, damit die Punktmasse in K’ ruht und im Inertialsystem, das sich mit der gleichbleibenden Geschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \dot{\vec{s}}=\dot{\vec R}} bewegt, eine Kreisbewegung um ${\vec {s}}$ ausführt.