Beschleunigtes Bezugssystem

Beschleunigte Bezugssysteme sind alle Bezugssysteme, die sich gegenüber einem Inertialsystem in beschleunigter Bewegung befinden. Dabei kann es sich um eine beschleunigte Translationsbewegung und/oder um eine Rotationsbewegung handeln. Ein beschleunigtes Bezugssystem ist in der Regel kein Inertialsystem.

Obwohl in beschleunigten Bezugssystemen die physikalischen Gesetze im Allgemeinen komplizierter aussehen (in der Mechanik müssen z. B. bei der Aufstellung von Bewegungsgleichungen Trägheitskräfte berücksichtigt werden), können diese Bezugssysteme in manchen Fällen die Lösung eines Problems vereinfachen. Das kann der Fall sein, wenn das Bezugssystem so gewählt wird, dass die Bewegungen relativ dazu einfach werden:

• Rotierende Kreis- oder Spiralbewegungen um ein gemeinsames Zentrum lassen sich z. B. oft gut beschreiben, wenn das Bezugssystem um das Zentrum gleichförmig rotiert: Der kreiselnde bzw. spiralende Körper ruht dann darin oder bewegt sich entlang einer Geraden.
• Das Foucaultsche Pendel wird meist in einem Bezugssystem berechnet, das die Erddrehung mitvollführt. Ebenso die Berechnungen für die Vorgänge in Atmosphäre und Ozeanen, auf denen die Vorhersage des Wetters und der Klimaentwicklung aufbauen.
• Relativbewegungen in einem Fahrzeug, z. B. die der Räder, werden in einem fahrzeugfesten System beschrieben.
• In einem Bezugssystem, das in einem homogenen Schwerkraftfeld dem freien Fall folgt, wird die Schwerkraft durch die Trägheitskraft exakt ausgeglichen. Dies ist ein Beispiel für ein beschleunigtes Bezugssystem, das ein Inertialsystem ist.

In der Klassischen Mechanik sind Zeit­intervalle und räumliche Abstände unabhängig vom gewählten Bezugssystem. Die Umrechnung der wahrgenommenen physikalischen Größen beim Übergang zu einem anderen Bezugssystem wird dort durch die Euklidische Transformation bewerkstelligt.

Kinematik

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Datei:Koordinatensysteme Ortsvektoren.png

Inertialsystem K und beschleunigtes Koordinatensystem K'.

Zeitableitungen in einem ruhenden und einem bewegten Koordinatensystem

Betrachtet wird ein Punkt P im physikalischen Raum, siehe Bild. In einem Inertialsystem K ist er durch einen Ortsvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec r} definiert, der mit drei Basisvektoren ${\vec {e}}_{i}$ ( Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i = 1,2,3} für die x-, y- und z-Richtung) und drei Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_{i}} darstellbar ist:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{r} \,=\, \sum_{i}x_{i}\,\vec{e}_{i}}

Ist der Punkt beweglich, hängen die Koordinaten $x_{i}(t)$ von der Zeit ab. Die Zeitableitung des Ortsvektors ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} \,=\, \sum_{i}\frac{\mathrm{d}x_{i}}{\mathrm{d}t}\vec{e}_{i}}

Sie gibt die Geschwindigkeit an, mit der sich der Punkt P relativ zum Bezugssystem K bewegt.

Sei K’ ein anderes Bezugssystem, das sich relativ zu K bewegt. In Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec R(t)} liegt der Koordinatenursprung von K’ und seine Basisvektoren sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{e}'_{i}(t)} . Der Ortsvektor des Punktes P in K' sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec r\,'} . Damit die Vektoren ${\vec {r}}$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec r\,'} denselben physikalischen Ort im Raum definieren, muss gelten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{r} \,=\, \vec{R}+\vec{r}\,'} .

Im Fall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec R=\vec 0} sind also die Vektoren gleich (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec r=\vec r\,'} ), aber ihre Komponenten bezüglich K bzw. K’ im Allgemeinen nicht, weil K und K’ zueinander verdreht sein können. Die Komponentendarstellung von ${\vec {r}}\,'$ in Bezug auf K’ ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{r}' \,=\, \sum_{i}x_{i}'\,\vec{e}_{i}'} .

und seine zeitliche Ableitung relativ zum bewegten System K’ lautet

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}'\vec{r}'}{\mathrm{d}t} \,=\, \sum_{i}\frac{\mathrm{d}x_{i}'}{\mathrm{d}t}\vec{e}_{i}'}

Dabei bedeutet der Strich im Symbol Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{d}'} für die Differentiation eines Vektors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec r'(t)} , dass die Koordinaten $x_{i}'(t)$ abgeleitet werden sollen, die er im Bezugssystem K’ hat, damit die Ableitung eine Größe bezeichnet, wie sie dort beobachtet werden kann.

Um die Geschwindigkeiten des Punktes P, wie sie in K bzw. in K’ beobachtet werden, zueinander in Beziehung zu setzen, muss die Bewegung von K’ in Bezug auf K beschrieben werden. Diese Bewegung ist wie bei einem starren Körper in jedem Moment die Kombination einer Translationsbewegung und einer Rotationsbewegung. Die Translationsbewegung ist durch die Geschwindigkeit gegeben, mit der der Ursprung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec R(t)} sich in K bewegt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec v_\text{trans}(t)\,=\,\frac{\mathrm{d}\vec{R}}{\mathrm{d}t}} .

Aufgrund der Translationsbewegung bewegen sich alle Punkte mit konstantem Ortsvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec r\,'} in K parallel, also bleiben auch die Basisvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{e}'_{i}} zeitlich konstant. Bei vorhandener Rotationsbewegung ändern diese sich aber. Die Rotationsbewegung von K’ wird in K mit der vektoriellen Winkelgeschwindigkeit ${\vec {\omega }}(t)$ beschrieben. Die Basisvektoren von K’ in K ändern sich unabhängig vom Ort der Drehachse mit der Geschwindigkeit (siehe Winkelgeschwindigkeit Abschnitte Bahngeschwindigkeit und Eindeutigkeit):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\vec{e}'_{i}}{\mathrm{d}t} \,=\, \vec{\omega}\times\vec{e}'_{i}}

Damit kann die Zeitableitung des Vektors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec r'(t)} , wie sie im Bezugssystem K erscheint, berechnet werden. Nach der Produktregel ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\vec{r}\,'}{\mathrm{d}t} \,=\, \sum_{i}\frac{\mathrm{d}x'_{i}}{\mathrm{d}t}\vec{e}'_{i}+\sum_{i}x'_{i}\frac{\mathrm{d}\vec{e}'_{i}}{\mathrm{d}t}} .

Nach den obigen Formeln ist das dasselbe wie

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\vec{r}\,'}{\mathrm{d}t} \,=\, \frac{\mathrm{d}'\vec{r}\,'}{\mathrm{d}t} \,+\, \sum_{i}x'_{i}\,(\vec{\omega}\times\vec{e}'_{i}) \,=\, \frac{\mathrm{d}'\vec{r}\,'}{\mathrm{d}t}+\vec{\omega}\times\vec{r}\,'} .

Diese Formel wird oft zu einer Operatorgleichung abgekürzt wiedergegeben als

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \bullet }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} '\bullet }{\mathrm {d} t}}+{\vec {\omega }}\times \bullet } .

Angewendet auf einen beliebigen Vektor (einzusetzen bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bullet} ), liefert sie den Zusammenhang zwischen seinen Änderungsgeschwindigkeiten, wie sie in K (linke Seite der Gleichung) bzw. in K’ (erster Term der rechten Seite) erscheinen.

Transformation der Geschwindigkeit

Im Folgenden werden, in Anlehnung an die Technische Mechanik, die im Bezugssystem K beobachteten Größen als Absolutgeschwindigkeit bzw. Absolutbeschleunigung bezeichnet, was statthaft ist, weil K ein Inertialsystem ist, und die auf K’ bezogenen Größen werden als Relativgeschwindigkeit bzw. Relativbeschleunigung bezeichnet.

Die Absolutgeschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec v} des Punktes ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v} \,=\, \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} \,=\, \sum_{i}\frac{\mathrm{d}x_{i}}{\mathrm{d}t}\vec{e}_{i} \left( \,=\, \sum_{i}\dot x_{i}\vec{e}_{i}\right)}

Die Relativgeschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec v'} des Punktes berechnet sich analog:

${\vec {v}}'\,=\,{\frac {\mathrm {d} '{\vec {r}}'}{\mathrm {d} t}}\,=\,\sum _{i}{\frac {\mathrm {d} x_{i}'}{\mathrm {d} t}}{\vec {e}}_{i}'$

Wegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{r} \,=\, \vec{R}+\vec{r}\,'} folgt für die Absolutgeschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec v} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec v\, \,=\, \, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\vec{R}+\vec r') \,=\, \frac{\mathrm{d}\vec{R}}{\mathrm{d}t} \,+\, \frac{\mathrm{d}'\vec{r}'}{\mathrm{d}t} \,+ \, \vec{\omega} \times \vec r' \,=\, \vec v_\text{trans} \,+\, \vec{\omega} \times \vec{r}' \,+\, \vec{v}\,'} .

Der Anteil (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec v_\text{trans} + \vec{\omega} \times \vec{r}'} ) der Absolutgeschwindigkeit wird als Führungsgeschwindigkeit bezeichnet; sie enthält alle Anteile der Geschwindigkeit, die sich ohne Berücksichtigung einer Relativbewegung im Bezugssystem K’ ermitteln lassen: Alle Punkte, die im Bezugssystem K’ ruhen, bewegen sich im Bezugssystem K mit der Führungsgeschwindigkeit. Falls sie in K’ nicht ruhen, ist ihre Geschwindigkeit die Summe aus Führungsgeschwindigkeit und Relativgeschwindigkeit Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\vec {v}}\,'} .

Transformation der Beschleunigung

Die zeitliche Ableitung der Formel für die Geschwindigkeit des Punktes P in K ergibt die Absolutbeschleunigung, ausgedrückt durch die in K’ beobachtbaren Größen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec r'} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec v'} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a'} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\mathrm d \vec{v}}{\mathrm d t} \,=\, \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \left( \vec v_\text{trans} \,+\, \vec{\omega} \times \vec{r}' \,+\, \vec{v}' \right) \,=\, \underbrace{\frac{\mathrm d \vec v_\text{trans}}{\mathrm d t}}_{\vec{a}_\text{trans}} \,+\, \underbrace{ \left( \frac{\mathrm d \vec{\omega}}{\mathrm d t}\right)}_{\dot{\vec{\omega}}} \times \vec{r}' \,+\, \vec{\omega} \times \underbrace{\left(\frac{\mathrm d \vec{r}\,'}{\mathrm d t}\right)}_{\vec{v}\,'+\,\vec{\omega}\times\vec{r}\,'} \,+\, \underbrace{\frac{\mathrm d \vec{v}'}{\mathrm d t}}_{\vec{a}\,'+\,\vec{\omega}\times\vec{v}\,'} }

Dabei muss die obige Operatorgleichung je einmal auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec r'} und ${\vec {v}}'$ angewendet werden. Die Größen nach den vorstehenden Formeln eingesetzt ergeben etwas umgeordnet:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \vec{a} \,=&\, \vec a_\text{trans} \,+\, \dot{\vec{\omega}} \times \vec{r}' \,+ \vec{\omega}\times (\vec{\omega}\times\vec{r}\,') \,+ 2\,\vec{\omega} \times \vec{v}\,'\,+\,\vec a' \\ \vec{a}' \,=&\,\vec a\,-\,\vec a_\text{trans} \,-\, \dot{\vec{\omega}} \times \vec{r}' \,-\, \vec{\omega}\times (\vec{\omega}\times\vec{r}\,') \,-\, 2\,\vec{\omega} \times \vec{v}' \end{align}}

Die Beschleunigungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec {a}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec {a}' } , in K bzw. K’ unterscheiden sich also nicht nur um die translatorische Beschleunigung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a_\text{trans}} des Systems K’ relativ zu K. Verglichen mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec {a}} , enthält Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec {a}'} vier zusätzliche Summanden:

	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \quad-\vec a_\text{trans}}		translatorische Beschleunigung in K’
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a_\text{Euler}\quad}	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle =\,-{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}'}		Eulerbeschleunigung in K’
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a_{\mathrm{Zentrifugal}}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =\,- \vec{\omega}\times (\vec{\omega}\times\vec{r}\,')}		Zentrifugalbeschleunigung in K’
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a_{\mathrm{Coriolis}}}	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle =\,-2\,{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}\,'}		Coriolisbeschleunigung in K’

(Anmerkung: ${\vec {a}}_{\mathrm {Coriolis} }$ wird in der Technischen Mechanik meist mit dem umgekehrten Vorzeichen definiert.)

Die Beschleunigung im Inertialsystem ist in dieser Definition die Summe aus Führungsbeschleunigung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a_F\,=\, \vec a_\text{trans} \,+\, \dot{\vec{\omega}} \times \vec{r}'\,+\,\vec{\omega}\times (\vec{\omega}\times\vec{r}\,')} ,

Coriolisbeschleunigung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a_\text{Coriolis}} und Relativbeschleunigung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a'} , wobei die Führungsbeschleunigung derjenige Beschleunigungsanteil ist, der ohne Berücksichtigung einer Relativbewegung im Bezugssystem K’ ermittelt werden kann:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a = \vec a_F + \vec a_\text{Coriolis} + \vec a'}

Am Ergebnis ist zu sehen: Wenn ein Punkt in einem Bezugssystem beispielsweise ruht oder sich geradlinig gleichförmig bewegt, hat er im Allgemeinen in einem bewegten anderen Bezugssystem nicht nur eine andere Geschwindigkeit, sondern auch eine andere Beschleunigung. Die Unterschiede der beobachteten Beschleunigungen werden in nicht-Inertialsystemen K’ als Wirkung von Trägheitskräften aufgefasst, siehe dort.

Literatur

• F. Scheck: Theoretische Physik. Mechanik. Springer Verlag, ISBN 978-3-540-71377-7. 
• Martin Mayr: Technische Mechanik: Statik, Kinematik – Kinetik – Schwingungen, Festigkeitslehre. 6. überarbeitete Auflage. Hanser, 2008, ISBN 978-3-446-41690-1 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).