Gaußsche hypergeometrische Funktion

Unter der hypergeometrischen Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {}_2F_1(a,b;c;z)} , auch als Gaußsche hypergeometrische Funktion oder als gewöhnliche hypergeometrische Funktion bezeichnet, versteht man in der Mathematik eine Potenzreihe, welche Lösung der hypergeometrischen Differentialgleichung ist. Die Funktion geht einher mit bedeutenden Mathematikern wie Leonhard Euler, Bernhard Riemann oder Carl Friedrich Gauß. Sie findet häufig Anwendung in der mathematischen Physik.

Definition

Die hypergeometrische Funktion ist für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |z|<1} definiert über die Potenzreihe

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {}_2F_1(a,b;c;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n (b)_n}{(c)_n} \frac{z^n}{n!} = \frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a) \,\Gamma(b)} \sum_{n=0}^\infty \frac{ \Gamma(a+n) \Gamma(b+n) }{ \Gamma(c+n)} \frac{z^n}{n!}}

für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a,b,c\isin\Complex} , wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c} keine nichtpositive ganze Zahl ist und die Funktion $\Gamma (\cdot )$ die Gammafunktion darstellt. Mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (q)_n := \prod_{k=0}^{n-1} (q+k) = q (q+1) \cdots (q+n-1) = \frac{\Gamma(q+n)}{\Gamma(q)} }

ist das aufsteigende Pochhammer-Symbol gemeint (die letzte Gleichheit folgt aus der Funktionalgleichung der Gammafunktion).

Wäre Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c} eine nichtpositive ganze Zahl, so wäre Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (c)_n=0} für große Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} . Daher ist die hypergeometrische Funktion für solche Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c} nicht definiert.

Konvergenz

Diese Potenzreihe wird zu einem Polynom, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} eine nichtpositive ganze Zahl ist.

Sofern sie kein Polynom ist, konvergiert die Potenzreihe für $|z|<1$ und ist divergent für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |z| > 1 } . Werte der Funktion ${}_{2}F_{1}(a,b;c;z)$ für $|z|\geq 1,z\neq 1$ sind durch analytische Fortsetzung bestimmt; Verzweigungspunkte sind die Punkte $1$ und $\infty$.

Zur Konvergenz auf dem Rand $|z|=1$ kann folgendes gesagt werden: Die Potenzreihe konvergiert absolut für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |z|=1} , wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Re} \left(c-a-b \right)>0} , und zwar im Fall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z=1} gegen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle _2F_1(a,b;c;1) = \frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}.}

Falls $\textstyle a+b\geq c$ gilt und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z} reell ist, lässt sich die folgende Konvergenzbedingung angeben:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{z\rightarrow 1}(1-z)\frac{\mathrm{d} \log(_{2}F_{1}(a,b;c;z^{2}))}{\mathrm{d} z} =a+b-c} .

Die hypergeometrische Differentialgleichung

→ Hauptartikel: Hypergeometrische Differentialgleichung

Die Funktion genügt, wie von Euler angegeben, einer linearen Differentialgleichung 2. Ordnung. Durch Einsetzen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle w = {}_2F_1(a,b;c;z)} erkennt man, dass die oben angegebene Reihe die nachstehende hypergeometrische Differentialgleichung erfüllt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z(1-z)\frac {\mathrm{d}^2w}{\mathrm{d}z^2} + \left[c-(a+b+1)z \right] \frac {\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z} - ab\,w = 0}

Die Reihe ist damit partikuläre Lösung der Differentialgleichung. Die Lösung gilt für den Bereich um die singulären Punkte $z=0,z=1$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z=\infty} . Mit Varianten der gewöhnlichen hypergeometrischen Funktion können schließlich alle Lösungen der hypergeometrischen Differentialgleichung angegeben werden.

Euler gab zudem eine Integraldarstellung für die Lösung der hypergeometrischen Differentialgleichung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {}_2 F_1(a,b;c;z)=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}\int_0^1t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-zt)^{-a} \,\mathrm{d}t}

Jede Differentialgleichung mit drei hebbaren singulären Punkten kann durch Transformation der Variablen in die hypergeometrische Differentialgleichung überführt werden.

Anwendungen

Spezielle Funktionen

Viele in der Mathematik übliche Funktionen können durch die Gaußsche hypergeometrische Funktion ausgedrückt werden. Einige Identitäten, die für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |z|<1} gelten, sind:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {}_2F_1\left(1,1;1;z\right)=\frac{1}{1-z}}

${}_{2}F_{1}\left(-\alpha ,1,1;-z\right)=(1+z)^{\alpha },\qquad \alpha \in \mathbb {R}$

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {}_2F_1\left(1,1;2;-z\right)=\frac{1}{z}\ln (1+z)}

${}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},1;{\frac {3}{2}};z^{2}\right)={\frac {1}{2z}}\ln {\frac {1+z}{1-z}}$

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {}_2F_1\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2};\frac{3}{2};z^2\right)=\frac{1}{z}\arcsin z}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {}_2F_1\left(\frac{1}{2},1;\frac{3}{2};-z^2\right)=\frac{1}{z}\arctan z}

Stammfunktionen

Mit der hypergeometrischen Funktion lassen sich u. a. folgende elementare Stammfunktionen angeben:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int \cos^n(x) \,\mathrm{d}x = - \frac{\sqrt{\sin^2(x)}}{\sin(x)} \, \frac{\cos^{n+1}(x)}{n+1} \, {}_2F_1\left(\frac{1}{2},\frac{n+1}{2},\frac{n+3}{2},\cos^2(x)\right)}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int \sin^n(x) \,\mathrm{d}x = - \cos(x)\, \frac{\sin^{n+1}(x)}{\sin^2(x)^\frac{n+1}{2}} \, {}_2F_1\left(\frac{1}{2},\frac{1-n}{2},\frac{3}{2},\cos^2(x)\right)}

Berechnung der hypergeometrischen Funktion

Die hypergeometrische Funktion kann prinzipiell über ihre Reihen-Entwicklung berechnet werden. Nach Gauß konvergiert die Reihe für reelle sowie komplexe Werte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |z| < 1 } sicher. Häufig kommt es aber zu ungünstigen Konstellationen, welche die Berechnung erheblich erschweren. Der Funktionswert im Bereich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |z| > 0,9 } kann praktisch bereits erhebliche Probleme verursachen. Hier sind Transformationen sowie Lösungen für spezielle Funktionswerte hilfreich. Für den Wert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z =1 } gilt etwa:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {}_2F_1 (a,b;c;1)= \frac{\Gamma(c)\,\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\,\Gamma(c-b)}}

Weiterhin ist die lineare Transformation

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {}_2F_1 (a,b;c;z) = (1-z)^{c-a-b} {}_2F_1 (c-a, c-b;c ; z)}

sehr hilfreich bei ungünstigen Konstellationen der Koeffizienten. Weitere Verfahren, spezielle Lösungen sowie Transformationen finden sich über die unten angegebenen Weblinks.

Siehe auch

• Verallgemeinerte hypergeometrische Funktion
• Gammafunktion

Literatur

• Leonhard Euler: Specimen transformationis singularis serierum. In: Nova Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae. 12, 1801, S. 58 – 70.

• Carl Friedrich Gauss: Disquisitiones generales circa seriem infinitam   $1+{\tfrac {a\cdot b}{1\cdot c}}\,x+{\tfrac {a(a+1)\cdot b(b+1)}{1\cdot 2\cdot c(c+1)}}\,x^{2}+...$. In: Commentationes recentiores Bd. II. , Göttingen1813.

• Felix Klein: Vorlesungen über die hypergeometrische Funktion, erster Teil, erster Abschnitt, S. 8–23, Springer, Berlin, reprint 1981.

• Ernst Eduard Kummer: Über die hypergeometrische Reihe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1 + \tfrac {\alpha\cdot \beta} {1 \cdot \gamma} ~x + \tfrac {\alpha (\alpha+1) \beta (\beta+1)} {1 \cdot 2 \cdot \gamma (\gamma+1)} x^2 + \tfrac {\alpha (\alpha+1)(\alpha+2) \beta (\beta+1)(\beta+2)} {1 \cdot 2\cdot 3 \cdot \gamma (\gamma+1)(\gamma+2)} x^3 +\mbox{etc.} } . In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. 15, 1836.

• Bernhard Riemann: Beiträge zur Theorie der durch die Gauss'sche Reihe F(α, β, γ, x) darstellbaren Functionen. In: Verlag der Dieterichschen Buchhandlung (Hrsg.): Abhandlungen der Mathematischen Classe der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. 7, Göttingen, 1857.

• Arthur Erdélyi, Wilhelm Magnus, Fritz Oberhettinger, Francesco G. Tricomi: Higher transcendental functions, Volume I, Chapter II, Seite 56–99, New York – Toronto – London, McGraw–Hill Book Company, Inc., 1953, ISBN 978-0-89874-206-0, pdf

Weblinks

• Transformations of Variable (Sammlung von linearen, quadratischen- und kubischen Transformationen von NIST)
• Gauss Hypergeometric Function (Liste der Identitäten von Wolfram Research)
• John Pearson, Computation of Hypergeometric Functions (University of Oxford, MSc Thesis)