Barwert
Der Barwert, auch Gegenwartswert genannt (englisch present value), ist ein Begriff aus der Finanzmathematik. Der Barwert ist der Wert, den zukünftige Zahlungen in der Gegenwart besitzen. Er wird durch Abzinsung der zukünftigen Zahlungen und anschließendes Summieren ermittelt. Daneben gibt es noch den Begriff des versicherungsmathematischen Barwerts, welcher eine Verallgemeinerung des finanzmathematischen Barwerts darstellt.
Barwert einer einzigen Zahlung
Im einfachsten Fall ist der Barwert einer einzigen Zahlung zu ermitteln. Dazu müssen folgende Daten gegeben sein:
- die Höhe der zukünftigen Zahlung C,
- die Zeit T, zu der die Zahlung C fließt, gerechnet ab heute (normalerweise in Jahren),
- der Zinssatz z, mit dem die Zahlung abgezinst wird
Der Barwert BW ist dann
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle BW = C \cdot DF(z,T)} ,
wobei die genaue Form des Diskontierungsfaktors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle DF(z,T)} von der gewählten Zinskonvention abhängt. Für den einfachen Fall, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} eine ganze Zahl von Jahren bezeichnet, lautet der Barwert
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle BW = \frac{C}{(1 + z)^T}}
und somit
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle DF(z,T) = \frac{1}{(1 + z)^T}} .
Barwert einer Anleihe
Eine häufige Anwendung der Barwertformel ist, unter Verwendung der Rendite für eine festverzinsliche Anleihe den Preis zu berechnen. Hat die Anleihe mit einem Nominalwert (Rückzahlungsbetrag) N eine Laufzeit von T ganzen Jahren und zahlt sie jährlich einen Kupon von c, so berechnet sich der Barwert aus der Summe der Barwerte der Zinszahlungen und des Barwerts der Rückzahlung:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle BW = \sum_{t=1}^{T}\frac{c}{(1 + z)^t} + \frac{N}{(1 + z)^T} = \frac{c}{(1 + z)} + \frac{c}{(1 + z)^2} + \dots + \frac{c}{(1 + z)^T} + \frac{N}{(1 + z)^T} } .
Beträgt die Zeit bis zur ersten Kuponzahlung weniger als ein Jahr, enthält der Barwert zeitanteilige Stückzinsen für den ersten Kupon und wird als „dirty price“ bezeichnet. Zieht man vom „dirty price“ die zeitanteilig abgegrenzten Stückzinsen ab, erhält man den sogenannten „clean price“. Der „clean price“ ist der Preis, der bei Börsennotizen, in Kurslisten o. Ä. aufgeführt wird. Der „dirty price“ ist der Preis, der bei einer Veräußerung tatsächlich gezahlt wird.
Barwert einer Annuität
Als Annuität (oder Rente) bezeichnet man in der Finanzmathematik eine gleich bleibende regelmäßige Zahlung. Wird diese Zahlung nicht auf einen Zeitraum beschränkt, sondern fließt unbegrenzt lange zu, spricht man von einer ewigen Rente (auch Perpetuität genannt).
Der Barwert des Betrages C, der einmal im Jahr auf unbeschränkte Dauer zufließt (z = Zinsfuß : 100, z. B. 5 : 100 = 0,05), ist:
- .
Für die ewige Rente gilt also der sehr einfache Zusammenhang, dass der Barwert um einen Faktor gleich dem Kehrwert des Zinssatzes größer als die Zahlung ist. Man kann die ewige Rente als regelmäßigen Zins auf eine Kapitalanlage in Höhe des Barwertes betrachten. Eine ewige Rente hat (bei positivem Zins) einen endlichen Barwert, obwohl die Gesamtsumme aller Zahlungen unendlich ist.
Fließt die (nachschüssige) Rente nur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N} Jahre, so ist der Barwert:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle BW = BW_\text{ewig}\cdot\left( 1- \frac{1}{\big(1 + z\big)^{N}} \right) = \frac{C}{z} - C \frac{1}{z \big(1 + z\big)^{N}} = C \cdot \left( \frac{1}{z} - \frac{1}{z \big(1 + z\big)^{N}}\right)} .
Je größer und je größer werden, desto mehr nähert sich das Ergebnis dem einer ewigen Rente an. Der Faktor zwischen Zahlung und Barwert heißt Rentenbarwertfaktor (=BW/C), sein Kehrwert heißt Annuitätenbarwertfaktor (=C/BW).
Beispiele: Bei einem Zinssatz von 5 % ist der Barwert der ewigen Rente 20-mal so groß wie die jährliche Zahlung, der Rentenbarwertfaktor beträgt 20. Der Barwert einer 30 Jahre laufenden Rente ist das 15,4fache der jährlichen Zahlung, der Rentenbarwertfaktor beträgt 15,4. Der Barwert einer einjährigen Rente ist 1/1,05-mal so hoch wie die Ausschüttung, der Rentenbarwertfaktor beträgt 1/1,05, was etwas größer als 0,95 ist.
Versicherungsmathematischer Barwert
Der versicherungsmathematische Barwert ist eine Verallgemeinerung des finanzmathematischen Barwerts. Wo letzterer den Wert, den zukünftig anfallende Zahlungen in der Gegenwart besitzen, (nur) unter Berücksichtigung der Abzinsung darstellt, fließen beim versicherungsmathematischen Barwert auch noch statistische bzw. stochastische Größen wie Sterbewahrscheinlichkeiten und Ähnliches ein.
Der versicherungsmathematische Barwert einer Leibrente zum Beispiel ist die Summe aller möglichen zukünftigen Rentenzahlungen (einschließlich möglicher Hinterbliebenenrentenzahlungen nach dem Tode des Rentenempfängers), jeweils mit der Wahrscheinlichkeit ihres Eintretens gewichtet und auf den Berechnungszeitpunkt abgezinst.
