Sterbetafel

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John Graunt – Titelblatt seines Buchs Natural and Political Observations Made upon the Bills of Mortality (1662)

Datei:Excerpt from CDC 2003 Table 1.pdf Die Sterbetafel ist eine Ausscheideordnung in Tabellenform (Nummerntafel), die darstellt, wie sich ein fiktives Kollektiv von Personen aus einer bestimmten Personengruppe durch Tod erwartungsgemäß verringert.

Geschichte

Sterbetafeln gab es bereits in der frühen Neuzeit. Sie gehen auf John Graunt zurück, der im Jahre 1662 die Sterbeverzeichnisse in London analysierte, hieraus die erste Sterbetafel berechnete und damit erstmals für jedes Alter Überlebenswahrscheinlichkeiten angab. Diese Daten veröffentlichte er in seinem Buch Natural and Political Observations Made upon the Bills of Mortality (1662).

1689 hatte Caspar Neumann statistische Daten über das Sterbealter in Breslau zusammengetragen, die er an Gottfried Wilhelm Leibniz sandte. Neumanns Daten dienten Edmond Halley als Grundlage für einen im Jahre 1693 veröffentlichten Artikel über Leibrenten. Weitere Untersuchungen führten 1742 der Holländer Kerseboom, 1746 der französische Mathematiker Antoine Deparcieux sowie 1766 der Schwede Pehr Wilhelm Wargentin durch.[1]

In Deutschland veröffentlichte E. W. Brune in Berlin (Rechnungsrat der Königlich Preußischen Allgemeinen Witwen-Verpflegungsanstalt) 1837 Sterbetafeln[2] die auch Carl Friedrich Gauß nutzte, der sich für die Witwenkasse der Universität Göttingen mit dem Thema befasste. Brune wertete die Daten von 31500 Ehepaaren aus seiner Kasse von 1776 bis 1834 aus.

Elemente einer Sterbetafel

In der Sterbetafel werden getrennt nach Geschlecht meist folgende Werte für die Alter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=0} bis zum Endalter der Sterbetafel (oft, wie z. B. bei DAV 2008 T, DAV 2004 R: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega = 120} ) aufgeführt:

  • die alters- und geschlechtsabhängigen Sterbewahrscheinlichkeiten der betreffenden Personengruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q_x} ,
  • daraus errechnet die Anzahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l_x} der jeweils bis zum Alter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} Überlebenden eines fiktiven Kollektivs in der Personengruppe und
  • die pro Altersjahr Gestorbenen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d_x} des fiktiven Kollektivs.

Die Überlebenswahrscheinlichkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_x} sagt für jedes erreichte Lebensalter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} aus, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Individuum des Kollektivs das Alter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x+1} erreicht. Die Wahrscheinlichkeit einer Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} -jährigen Person, vor Erreichen des Alters Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x+1} zu sterben, also die Sterbewahrscheinlichkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q_x} , ist damit .

Häufig werden für Männer und Frauen getrennte Sterbetafeln verwendet. Aus der Sterbetafel lassen sich die Lebenserwartung eines neugeborenen Kindes und die sog. fernere Lebenserwartung, also die Lebenserwartung einer Person im Alter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} , errechnen. In der Schreibweise der Versicherungsmathematik wird das Alter von Männern mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} , das von Frauen mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} bezeichnet. Die Sterblichkeit eines Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} -jährigen Mannes wird mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q_x} , die einer Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} -jährigen Frau mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q_y} notiert.

Neben den Sterbewahrscheinlichkeiten werden für jedes Alter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} in der Sterbetafel die Anzahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l_x} der noch lebenden und die Anzahl der im Alter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} versterbenden Personen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d_x} tabelliert. Dabei geht man oft von oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l_0 = 1.000.000} neugeborenen Personen aus. Damit kann man anschaulich darstellen, wie sich ein Personenkollektiv im Modell durch die Sterbefälle reduziert. Es gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l_x = l_{x-1}\cdot (1-q_{x-1})}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d_x = l_x - l_{x+1} = l_x \cdot q_x}

Übliche Sterbewahrscheinlichkeiten

Die Wahrscheinlichkeit im Alter von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} bis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x+1} Jahren zu sterben, mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q_x} bezeichnet, ist stark vom Alter abhängig und unterscheidet sich natürlich zwischen Sterbetafeln eklatant. Ganz grob gesprochen: In der Grundschule ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q_x<0,0001} , also unter 0,01 %, zwischen 1 Jahr und 40 Jahren unter 0,1 %, bis zum Alter von 60 Jahren unter 1 %, bis zum Alter von 85 Jahren unter 10 %.

Ein-Jahres-Sterbe-Wahrscheinlichkeit
(in westlichen Industrie-Nationen)[3]
Alter Wahrscheinlichkeit
innerhalb eines Jahres
zu sterben
5–10 unter 0,01 %
1–40 unter 0,1 %
0–60 unter 1 %
0–85 unter 10 %

Arten von Sterbetafeln

In der Versicherungswirtschaft werden vielfach Periodensterbetafeln eingesetzt. Dabei werden altersspezifische Sterblichkeiten von gleichzeitig lebenden Personen ermittelt. Periodentafeln beschreiben daher modellhaft die Sterblichkeitsverhältnisse gleichzeitig lebender Generationen innerhalb eines relativ kurzen Beobachtungszeitraums.

Im Gegensatz dazu sind Kohortensterbetafeln, die das Absterben eines Geburtsjahrganges beschreiben, aufgrund des langen Beobachtungszeitraums ungeeignet für die Kalkulation von Rentenversicherungen.

Unter einer Generationensterbetafel versteht man eine Sterbetafel, bei der die Sterblichkeit nicht nur vom Alter (und eventuell vom Geschlecht), sondern zusätzlich vom Geburtsjahrgang abhängt. Hierdurch lässt sich die steigende Lebenserwartung für später geborene Personen berücksichtigen. Generationentafeln liegen daher der Kalkulation von Rentenversicherungen zugrunde.[4] Die oben bereits erwähnten Tafeln DAV 1994 R und DAV 2004 R sind Generationentafeln. Manchmal wird die Geburtsjahrabhängigkeit vereinfachend dadurch abgebildet, dass später geborene Jahrgänge für die Kalkulation durch eine einfache Altersverschiebung „jünger gemacht“ werden.

Zum Teil werden auch Versichertensterbetafeln eingesetzt. Diese berücksichtigen, dass die Sterblichkeit des Versichertenkollektivs von derjenigen der Bevölkerung z. B. aufgrund einer Gesundheitsprüfung oder der Selbstselektion abweicht.

Die Methode der Sterbetafelberechnung gehört zu den nichtparametrischen Verfahren der Ereignisanalyse.

Anwendung

Datei:Sterbetafel.svg
Grafische Darstellung der Sterbetafel 2008/10 des Statistischen Bundesamtes

Wird die Tafel zur Kalkulation von Beiträgen eines Versicherungsvertrages oder der Deckungsrückstellung verwendet, so werden die Sterbewahrscheinlichkeiten erster Ordnung angesetzt. Sie sind gegenüber den Wahrscheinlichkeiten zweiter Ordnung (den "realistischen" Werten) mit Sicherheitsmargen versehen, um jeweils das Risiko vorsichtig einzuschätzen. Sie bilden geeignete Rechnungsgrundlagen. Entsprechende Sterbetafeln werden beispielsweise von der Deutschen Aktuarvereinigung e.V. (DAV) herausgegeben.

  • Besteht das Risiko im Tod des Versicherten (Lebensversicherungen auf den Todes- und Erlebensfall, Risikolebensversicherung), so werden die Sterbewahrscheinlichkeiten erhöht (Zuschlag). Ein Beispiel ist die Tafel DAV 2008 T.
  • Besteht das Risiko im Überleben (Rentenversicherungen), so werden die Sterbewahrscheinlichkeiten gesenkt (Abschlag). Ein Beispiel ist die Tafel DAV 2004 R.

Passende DAV-Tafeln dürfen für die Berechnung der in der Bilanz einer Versicherung auszuweisenden Deckungsrückstellung verwendet werden. Die Tafel DAV 1994 R berücksichtigt den Trend zur größeren Lebensdauer (wegen des medizinischen Fortschritts und der Verbesserung der Lebensumstände) für später geborene Personen aus heutiger Sicht nicht ausreichend vorsichtig und darf daher nicht mehr von Rentenversicherungen verwendet werden.

Die zur Kalkulation von Altersrenten verwendeten Sterbetafeln (Rententafeln) berücksichtigen die steigende Lebenserwartung. Die anzusetzende Sterbewahrscheinlichkeit hängt damit nicht nur vom Alter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} , sondern auch vom Geburtsjahrgang ab, da seit Jahrzehnten von Geburtsjahrgang zu Geburtsjahrgang die Lebenserwartung zunimmt. Die damit entstehende zweidimensionale Tafel mit einer Altersverschiebung wird auch zu einer eindimensionalen Tafel vereinfacht.

Siehe auch

Weblinks

Einzelnachweise

  1. ↑ Meyers Großes Konversations-Lexikon. 6. Auflage. Bibliographisches Institut, Leipzig/ Wien 1909 (zeno.org [abgerufen am 18. Juni 2019] Lexikoneintrag „Sterblichkeit“).
  2. ↑ Brune: Neue Sterblichkeitstafeln für Wittwen-Cassen. Journal für Reine und Angewandte Mathematik (Crelle J.), Band 16, 1837, S. 58, SUB Göttingen
  3. ↑ Zugrunde gelegt wurden Werte von Männern in Bayern 2018/2020
  4. ↑ GDV: Wie Sterbetafeln, Lebenserwartung und Rente zusammenhängen. Abgerufen am 12. August 2016.
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