Gerichtete Menge

Gerichtete Mengen bezeichnen in der Mathematik eine Verallgemeinerung der nichtleeren, linear geordneten Mengen. Sie werden in der Topologie verwendet, um Netze, und in der Kategorientheorie, um Limites und Kolimites zu definieren.

Definition

Eine nichtleere Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} heißt gerichtet, falls auf ihr eine Relation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \triangleleft } (genannt Richtung) erklärt ist, die die folgenden Forderungen erfüllt:

	(R1)	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \forall x \in X\colon x \triangleleft x}	(Reflexivität)
	(R2)	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \forall x,y,z \in X\colon (x \triangleleft y) \land (y \triangleleft z) \Rightarrow (x \triangleleft z)}	(Transitivität)
	(R3)	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \forall x,y \in X\ \exists z \in X\colon (x \triangleleft z) \land (y \triangleleft z)}	(Existenz einer oberen Schranke)

Die Richtung steht für eine Quasiordnung, bei der jede endliche Teilmenge eine obere Schranke hat.

$x\triangleleft y$ wird als „$x$ vor $y$“ oder auch als „$y$ nach $x$“ gelesen, für welch letzteres auch die Schreibweise Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle y\triangleright x} mit dem gespiegelten Dreieck zu finden ist.

Auf einer Menge kann es sinnvoll sein, verschiedene Richtungen zu definieren (siehe Beispiele). Um die gemeinte Richtung hervorzuheben, nennt man auch das geordnete Paar Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left(X,\triangleleft \right)} gerichtete Menge.

Beispiele

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X \subseteq \mathbb{R}^n; \, \rho \in \mathbb{R}^n\ \mathrm{fest}; \, \forall x,y \in X: (x \triangleleft y) :\Leftrightarrow \left\| x - \rho \right\| \geq \left\| y - \rho \right\| \quad }

(Sprechweisen: „Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} ist auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho} gerichtet“ oder „Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathit{\rho}} ist Richtungszentrum von $X$“.) Man kann durch diese Richtung den Grenzwert einer Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\colon X \to \mathbb{R}^n} für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \to \rho} als (Netz-)Konvergenz des zugehörigen Netzes auffassen.

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X = \N; \, \forall n,m \in X: (n \triangleleft m) :\Leftrightarrow n \mid m }

In der Bedeutung „Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} teilt $m$“. Die Forderung (R3) wird erfüllt durch das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV). Die gerichtete Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\N,\mid)} kommt zum Einsatz bei kategoriellen Limites, bspw. den proendlichen Zahlen.

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X = \mathbb{N}; \, \forall n,m \in X: (n \triangleleft m) :\Leftrightarrow n \leq m }

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X = \mathbb{R}; \, \forall x,y \in X: (x \triangleleft y) :\Leftrightarrow x \leq y }

Mit Hilfe dieser gerichteten Menge lassen sich Grenzwerte von Funktionen respektive Folgen für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \to \infty} bzw. $n\to \infty$, ähnlich dem ersten Beispiel, als (Netz)Konvergenzen ihrer zugehörigen Netze auffassen.

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X = \mathbb{N}^2; \, \forall (n,m),(p,q) \in X: ((n,m) \triangleleft (p,q)) :\Leftrightarrow (n \leq p) \land (m \leq q) }

Mit dieser Richtung auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{N}^2} lässt sich Konvergenz von Doppelfolgen, wiederum als Netzkonvergenz, definieren.

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M } eine beliebige Menge und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X = \mathcal{P}(M)} (die Potenzmenge)$;\,\forall A,B\in X:(A\triangleleft B):\Leftrightarrow A\subseteq B$

Die Forderung (R3) wird erfüllt durch die Vereinigungsmenge.

Literatur

Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 15. Auflage. Teubner, Stuttgart u. a. 2003, ISBN 3-519-62233-5.