Stochastische Ordnung

Stochastische Ordnungen sind Ordnungsrelationen für Zufallsvariablen. Sie verallgemeinern das Konzept von größer und kleiner auf zufällige Größen und dienen zum Beispiel dem Vergleich von Risiken in der Versicherungswirtschaft. Die Theorie der stochastischen Ordnungen ist ein jüngeres mathematisches Teilgebiet und hat in den letzten Jahrzehnten eine starke Entwicklung erfahren und eine breite Anwendung in Finanzmathematik, ökonomischer Forschung und Operations Research gefunden. Spezielle stochastische Ordnungen wurden schon in der Nachkriegszeit erforscht, die erste umfassende Monographie des Themas von Dietrich Stoyan wurde 1977 veröffentlicht. Es werden zahlreiche stochastische Ordnungen mit jeweils unterschiedlichen Anwendungsbereichen betrachtet, die Theorie der Integralordnungen ermöglicht es dabei, unterschiedliche Ordnungen mit einheitlichen Methoden zu untersuchen.

Ordnung im Mittel

Eine in der Praxis oft genutzte Ad-hoc-Ordnung entsteht aus dem Vergleich von Erwartungswerten. Man sagt die reelle Zufallsvariable $X$ ist im Mittel kleiner als die Zufallsvariable $Y$, wenn $\mathbb {E} [X]<\mathbb {E} [Y]$ gilt. Diese Ordnung berücksichtigt keine weiteren Eigenschaften der Verteilungen wie Varianz oder Schiefe.

Gewöhnliche stochastische Ordnung

Eine besondere Rolle spielt die gewöhnliche stochastische Ordnung (engl.: usual stochastic order). Ausgehend von der Notwendigkeit, Bewertungen und Entscheidungen auch unter Unsicherheit vornehmen zu können, überträgt sie den anschaulichen Ordnungsbegriff reeller Zahlen (formalisiert durch die Ordnungsaxiome reeller Zahlen) auf reellwertige Zufallsvariablen. Sie wurde vor anderen stochastischen Ordnungen untersucht und 1947 (Mann und Whitney) und 1956 (Lehmann) in mathematischen Arbeiten verwendet. Von Samuel Karlin wurde sie 1960 in das Operations Research eingeführt. In der ökonomischen Literatur ist sie als first order stochastic dominance bekannt.

N(0, 1) ≼ N(0.75, 1).

N(0, 1) und N(0.25, 1.5) sind nicht vergleichbar.

Definition: Seien $X$ und $Y$ reelle Zufallsvariablen. $Y$ ist größer-gleich $X$ bezüglich der gewöhnlichen stochastischen Ordnung, wenn für alle $b\in \mathbb {R}$ gilt

$\mathbb {P} (X\geq b)\leq \mathbb {P} (Y\geq b)$.

Das heißt, für eine beliebige Schranke $b$ liegen die Werte von $Y$ mit größerer (oder gleicher) Wahrscheinlichkeit über $b$ als die Werte von $X$. Als Symbol wird häufig $X\preceq _{st}Y$ eingeführt. Das lässt sich ebenfalls als Kriterium für die Verteilungsfunktionen $F_{X}$ und $F_{Y}$ formulieren:

$F_{X}(b)\geq F_{Y}(b)$ für alle $b\in \mathbb {R}$.

Eine äquivalente Definition lautet

$X\preceq _{st}Y:\Leftrightarrow \mathbb {E} [f(X)]\leq \mathbb {E} [f(Y)]$ für alle monoton wachsenden Funktionen $f\in C_{b}(\mathbb {R} )$.

Diese Definition lässt sich für Zufallsvariablen mit Werten in einem topologischen Raum $E$, auf dem eine Halbordnung $\leq$ definiert sind, auf natürliche Weise verallgemeinern (wobei die Ordnung mit der Topologie verträglich sein muss und daher die Abgeschlossenheit der Menge $\{x\leq y,x,y\in E\}$ gefordert wird.)

Seien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X, Y} zwei Zufallsvariablen mit Werten in einem halbgeordneten polnischen Raum. Der Satz von Strassen besagt nun, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X \preceq_{st} Y } genau dann gilt, wenn zwischen den Variablen eine monotone Kopplung besteht. Das bedeutet, dass zwei (andere) Zufallsvariablen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde X} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde Y} existieren, welche dieselbe Verteilung wie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} resp. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y} besitzen und für die außerdem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb P(\tilde X \le \tilde Y) = 1} gilt. Der Beweis dieser Existenzaussage ist außer in einfachen Fällen nicht konstruktiv.

Zufallsgrößen mit dem gleichen Erwartungswert und unterschiedlicher Verteilung kann man mit der gewöhnlichen stochastischen Ordnung nicht vergleichen, je nach Anwendung ist es erforderlich, andere stochastische Ordnungen zu betrachten.

Integralordnungen

Viele stochastische Ordnungen von Interesse (für Zufallsvariablen mit Werten in einem geordneten polnischen Raum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} ) lassen sich ebenso wie die gewöhnliche stochastische Ordnung über Klassen von „Testfunktionen“ Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal F} (mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal F \subset \{f\colon E \rightarrow \mathbb R, f\ \text{borel-messbar}\}} )

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\star)\quad X \preceq_{\mathcal F} Y :\Leftrightarrow \mathbb E[f(X)] \le \mathbb E[f(Y)]} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f \in \mathcal F} für die beide Erwartungswerte definiert sind

definieren. Solche stochastischen Ordnungen heißen Integralordnungen, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \preceq_{\mathcal F}} heißt die von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal F} generierte stochastische Ordnung, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal F} ihr Generator. Die so definierte Operation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \preceq_{\mathcal F}} ist nicht unbedingt transitiv, eine Möglichkeit, dieses Problem zu umgehen, ist die Einschränkung auf solche Funktionen und Zufallsvariablen, für die alle Erwartungswerte existieren.

Dies ist eine wahrscheinlichkeitstheoretische Begriffsbildung – das heißt, es kommt nur auf die Verteilungen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y} an und Integralordnungen lassen sich ebenso für Verteilungen auf geordneten polnischen Räumen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (E, \tau, \le)} ausgestattet mit der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma} -Algebra der Borelmengen definieren:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P \preceq_{\mathcal F} Q :\Leftrightarrow \mathbb \int f dP \le \int f dQ} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f \in \mathcal F} für die beide Integrale definiert sind,

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P,Q} Wahrscheinlichkeitsmaße auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (E, \mathcal B)} seien.

Oft wird eine Ordnung schon von einer Unterklasse von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal F} generiert (es reicht also aus, die rechte Seite von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\star)} für einen Teil der Funktionen aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal F} überprüfen, um Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X \preceq_{\mathcal F} Y} zu folgern), im Fall der gewöhnlichen stochastischen Ordnung zum Beispiel für alle isotonen messbaren Indikatorfunktionen oder für alle unendlich oft differenzierbaren isotonen Funktionen.

In der Anwendung der Ordnung ist oft von Interesse, aus der linken Seite von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\star)} die Gültigkeit der rechten Seite für eine bestimmte Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_0} zu folgern. Die Frage danach, für welche Funktionen dies möglich ist, führte A. W. Marshall 1991 zum Begriff des maximalen Generator.

Bei der Bestimmung eines maximalen Generators wird wie bei der Sicherung der Transitivität eine Einschränkung auf bestimmte Funktionen benötigt. Es werden eine Gewichtsfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b: E \rightarrow [0,\infty)} eingeführt und nur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} -beschränkte Funktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{f\colon \sup_{x \in E}|\frac{f(x)}{b(x)}| < \infty\}} und Maße, bezüglich denen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} integrierbar ist, betrachtet.

Stop-loss order

Die für die Versicherungsmathematik wichtige stop-loss order Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \preceq_{sl}} ist ein weiteres Beispiel für eine Integralordnung. Sie wird generiert von der Klasse der reellen Funktionen der Gestalt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \mapsto (x - a)^+} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a \in \mathbb R} . Die stop-loss order ist schwächer als die gewöhnliche stochastische Ordnung und wird unter anderem beim Vergleich von Schadenssummen und als Kriterium bei der Wahl eines Prämienprinzips eingesetzt. Werden Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y} als Risiken interpretiert, bedeutet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X \preceq_{sl} Y} , dass die Stop-Loss-Rückversicherungsprämie für das Risiko Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y} größer ist als die für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} bei jeder Wahl des Selbstbehalts Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} .

Abhängigkeitsordnungen

Auf einem Maßraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\Omega,P)} betrachte man zwei Zufallsvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (X_1, X_2)} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (Y_1, Y_2)} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega \to\mathbb R^2} , so ist über den Vergleich der Kovarianzen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Cov}(X_1, X_2) \le \operatorname{Cov}(Y_1, Y_2)}

ein Vergleich des Grades der gegenseitigen Abhängigkeit der Komponenten der beiden Vektoren möglich. Abhängigkeitsordnungen (engl. dependence orders) verallgemeinern dieses Konzept und sind unter anderem von Interesse für die Versicherungswirtschaft, wo Häufung und Abhängigkeit von Risiken wie Hagel- oder Hochwasserschäden ein finanzielles Risiko für die Versicherer darstellen und die traditionell in der Versicherungsmathematik gemachte Annahme der Unabhängigkeit der Risiken zu einer Unterschätzung der Ruin-Wahrscheinlichkeit führt.

Zu den Abhängigkeitsordnungen gehört die supermodulare Ordnung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \preceq_{sm}} . Sie wird generiert von der Klasse der supermodularen Funktionen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal F_{sm} := \{f \in C^2(\mathbb R^n, \mathbb R)\colon \partial_i \partial_j f(x) \ge 0 \;\forall x \in \mathbb R^n, 1 \le i < j \le d\}} . Mit dieser Definition, ist jede zweimal stetig differenzierbare reellwertige Funktion die auf den reellen Zahlen definiert ist, bereits supermodular. Dies wiederum hat zur Folge, dass nur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb R^n} -wertige Zufallsvektoren bezüglich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \preceq_{sm}} verglichen werden können, die gleiche Randverteilungen besitzen.

Sie ermöglicht zusammen mit der stop-loss order den Vergleich von multivariaten Risiko-Portfolios mit abhängigen Risiken.

Genauer gilt: Seien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X = (X_1, \dots, X_n)} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y = (Y_1, \dots, Y_n)} zwei Risiko-Portfolios mit gleichen Randverteilungen. Ist der Vektor der Risiken von Portfolio Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} supermodular kleiner als der von Portfolio Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y} , ist die Zufallsvariable der Schadenssumme von Portfolio Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} kleiner als die von Portfolio Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y} bezüglich der stop-loss order, und damit auch der Preis einer Stop-Loss-Rückversicherung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X \preceq_{sm} Y \Rightarrow \sum_{i=1}^n X_i \preceq_{sl} \sum_{i=1}^n Y_i} .

Literatur

• Alfred Müller, Dietrich Stoyan: Comparison methods for stochastic models and risks. Wiley, Chichester 2002, ISBN 0-471-49446-1.
• Klaus D. Schmidt: Versicherungsmathematik. 2., durchgesehene Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-29097-4.
• Dietrich Stoyan: Qualitative Eigenschaften und Abschätzungen stochastischer Modelle. Lizenzausgabe. R. Oldenbourg, München u. a. 1977, ISBN 3-486-21271-0.
• R. Szekli: Stochastic Ordering and Dependence in Applied Probability (= Lecture Notes in Statistics. Vol. 97). Springer, New York u. a. 1995, ISBN 0-387-94450-8.