Glückliche Zahl

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Glückliche Zahlen sind natürliche Zahlen, die mit einem bestimmten Siebprinzip erzeugt werden. Das Siebprinzip ähnelt dem Sieb des Eratosthenes zur Bestimmung von Primzahlen. Sie wurden erstmals von den Mathematikern Gardiner, Lazarus, Metropolis und Ulam im Jahr 1956 erwähnt.[1] Das Siebprinzip nennen sie Sieb von Josephus Flavius, weil es sehr an das Josephus-Problem erinnert.

Definition

Man beginnt mit einer Liste der positiven natürlichen Zahlen. Dann geht man die Zahlen der Liste durch, beginnend mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=2} , und streicht jeweils jede x-te Zahl. Im Unterschied zum Sieb des Eratosthenes werden beim Abzählen der zu streichenden Zahlen die schon gestrichenen nicht mitgezählt, sondern nur die noch in der Liste stehenden. Auch beim Durchgehen der Liste, um das nächste x zu erhalten, werden die gestrichenen übergangen.

Erläuterung

[[Hilfe:Cache|Fehler beim Thumbnail-Erstellen]]:
Diese Animation zeigt das Siebprinzip, mit dem man glückliche Zahlen erhält. Die roten übrig gebliebenen Zahlen sind die glücklichen Zahlen.

Im ersten Schritt streicht man jede zweite Zahl und damit alle geraden Zahlen.

Im zweiten Schritt ist die auf Zwei folgende Zahl in der Liste Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=3} , und es wird jede dritte gestrichen:

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
21 23 25 27 29 31 33 35 37 39
41 43 45 47 49 51 53 55 57 59
61 63 65 67 69 71 73 75 77 79
81 83 85 87 89 91 93 95 97 99

Im dritten Schritt ist die auf Drei folgende Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=7} , und es wird jede siebte gestrichen:

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
21 23 25 27 29 31 33 35 37 39
41 43 45 47 49 51 53 55 57 59
61 63 65 67 69 71 73 75 77 79
81 83 85 87 89 91 93 95 97 99

Nach der Sieben folgt die Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=9} , und jede neunte wird gestrichen:

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
21 23 25 27 29 31 33 35 37 39
41 43 45 47 49 51 53 55 57 59
61 63 65 67 69 71 73 75 77 79
81 83 85 87 89 91 93 95 97 99

Dann streicht man jede 13., und so weiter. Daraus ergibt sich die Folge der glücklichen Zahlen als all die Zahlen, die nie gestrichen werden:

  • 1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, … (Folge A000959 in OEIS)

Eigenschaften

  • Es gibt unendlich viele glückliche Zahlen.
  • Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L_n} die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} -te glückliche Zahl und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_n} die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} -te Primzahl. Dann gilt:[2]
für ausreichend große Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n}
Mit anderen Worten: ab einem gewissen Index ist die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} -te glückliche Zahl immer größer als die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} -te Primzahl.
  • Die Zählfunktion der glücklichen Zahlen ist asymptotisch äquivalent zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{n}{\ln n}} (vgl. Primzahlsatz).[2] Mit anderen Worten:
Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(n)} die Anzahl der glücklichen Zahlen, welche kleiner oder gleich sind. Dann gilt:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{n \to \infty}\,\frac{g(n)}{n / \ln(n)} \, = \, 1}

Glückliche Primzahlen

Primzahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p \in \mathbb P} , die glückliche Zahlen sind, nennt man glückliche Primzahlen. Die glücklichen Primzahlen, welche kleiner als 1000 sind, lauten:

3, 7, 13, 31, 37, 43, 67, 73, 79, 127, 151, 163, 193, 211, 223, 241, 283, 307, 331, 349, 367, 409, 421, 433, 463, 487, 541, 577, 601, 613, 619, 631, 643, 673, 727, 739, 769, 787, 823, 883, 937, 991, 997, … (Folge A031157 in OEIS)

Es ist unbekannt, ob es unendlich viele glückliche Primzahlen gibt. Es gibt auch eine zur Goldbachschen analoge Vermutung.

Siehe auch

Weblinks

Einzelnachweise

  1. ↑ Verna Gardiner, Roger B. Lazarus, Nicholas Metropolis, Stanisław Marcin Ulam: On certain sequences of integers defined by sieves. In: Mathematics Magazine. 29, Nr. 3, 1956, ISSN 0025-570X, S. 117–122. doi:10.2307/3029719.
  2. ↑ a b D. Hawkins, William Egbert Briggs: The lucky number theorem. In: Mathematics Magazine. 31, Nr. 2, 1957, ISSN 0025-570X, S. 81–84,277–280. doi:10.2307/3029213.
Abgerufen von „https://de.wikiup.org/index.php?title=Glückliche_Zahl&oldid=225127803“