Gleichung xʸ = yˣ

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Nicht-negative Lösungspaare der Gleichung

Im Allgemeinen ist die Exponentiation zweier reeller Zahlen nicht kommutativ. Die Gleichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^y=y^x} hat trotzdem unendlich viele Lösungen.[1][2] Eine Lösung ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=2, \, y=4} .[3]

Geschichte

Die Gleichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^y=y^x} wird in einem Brief von Daniel Bernoulli an Christian Goldbach vom 29. Juni 1728 erwähnt.[4] Der Brief enthält die Aussage, dass die einzigen beiden Lösungen der obigen Gleichung, wobei natürliche Zahlen sein sollen, bzw. sind. Die Antwort von Goldbach vom 31. Januar 1729[4] enthält allgemeine Lösungen der Gleichung, die durch die Substitution erhalten wurden. Eine ähnliche Lösung wurde von Leonhard Euler gefunden.[2]

J. van Hengel wies darauf hin, dass für natürliche Zahlen und folgendes gilt: .[5] Es genügt also, und zu betrachten, um alle Lösungen für natürliche Zahlen zu bestimmen.

Das Problem wurde in mehreren Publikationen behandelt.[2][4] Im Jahre 1960 kam die Gleichung in der William Lowell Putnam Competition vor,[6] was Alvin Hausner dazu bewog, die Ergebnisse auf algebraische Zahlkörper auszudehnen.[2][7]

Nicht-negative reelle Lösungspaare

Hauptquelle:[3]

Eine unendliche Menge von „trivialen“ Lösungen ist durch die Bedingung gegeben.

Wir suchen also nach nicht-negativen Lösungspaaren (), für die gilt. Es kann angenommen werden, da die einzige triviale Lösung, für die oder gilt, ist. Wir können also für genau ein t schreiben, wobei gilt. Die Gleichung lautet jetzt:

.

Durch Anwendung der -ten Wurzel und Dividieren durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} auf beiden Seiten ergibt sich also:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t = x^{t-1}} .

Da per Definition Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=tx} ist, lassen sich also alle nicht-negativen, nicht-trivialen Lösungspaare folgendermaßen schreiben (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t>0, t\neq 1} ):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = t^{1/(t-1)}} ,
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = t^{t/(t-1)}} .

Zudem sind für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t>0} alle obigen Paare Lösungen der Gleichung. Setzt man beispielsweise Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t=2} beziehungsweise Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t=\tfrac{1}{2}} , so erhält man die oben genannte Lösung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4^2=2^4} .

Andere Lösungspaare, die aus algebraischen Zahlen bestehen, sind beispielsweise Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt3} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3\sqrt3} , sowie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt[3]4} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4\sqrt[3]4} .

Der Schnittpunkt der zu den obigen Lösungen gehörigen Kurve im Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb R^2} und der Kurve Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=y} liegt bei (mit stetiger Fortsetzung) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t = 1} . In diesem Fall ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = \lim_{t\to 1}t^{1/(t-1)} = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac 1n\right)^n = e} .

Der Schnittpunkt liegt also bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = y = e} .

Weblinks

Einzelnachweise

  1. ↑ Leonard E. Dickson: History of the Theory of Numbers. Band II. Washington 1920, S. 687 (google.com).
  2. ↑ a b c d Marta Sved: On the Rational Solutions of xy = yx Archiviert vom Original am 4. März 2016. In: Mathematics Magazine. 1990.
  3. ↑ a b Lajos Lóczi: On commutative and associative powers Archiviert vom Original am 15. Oktober 2002. In: KöMaL. November. Translation of: Mikor kommutatív, illetve asszociatív a hatványozás? (Ungarisch) Archiviert vom Original am 6. Mai 2016.
  4. ↑ a b c David Singmaster: Sources in recreational mathematics: an annotated bibliography. 8th preliminary edition. Archiviert vom Original am 16. April 2004.
  5. ↑ Johann van Hengel: Beweis des Satzes, dass unter allen reellen positiven ganzen Zahlen nur das Zahlenpaar 4 und 2 für a und b der Gleichung ab = ba genügt. In: Bericht über das Königliche Gymnasium zu Emmerich. 1888.
  6. ↑ Andrew Gleason, R. E. Greenwood, Leroy Milton Kelly: The William Lowell Putnam mathematical competition problems and solutions: 1938-1964. Hrsg.: MAA. 1980, ISBN 0-88385-428-7, S. 59 (google.com).
  7. ↑ Algebraic Number Fields and the Diophantine Equation mn = nm. In: The American Mathematical Monthly. November 1961.
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