Grenzbedingungen (Elektrodynamik)

Grenzbedingungen sind Stetigkeitsbedingungen, welche in der klassischen Elektrodynamik zwischen zwei unterschiedlichen Medien gelten. Sie stellen die Randwerte bei den Maxwellgleichungen im Übergangsbereich zwischen unterschiedlichen Materialien dar.

Allgemeine Grenzbedingungen

Die Felder in den beiden Medien werden mit den Indizes 1 und 2 gekennzeichnet.

• ${\hat {n}}\times \left({\vec {E}}_{2}-{\vec {E}}_{1}\right)=0$

• ${\hat {n}}\cdot \left({\vec {D}}_{2}-{\vec {D}}_{1}\right)=\sigma _{F}$

• ${\hat {n}}\cdot \left({\vec {B}}_{2}-{\vec {B}}_{1}\right)=0$

• ${\hat {n}}\times \left({\vec {H}}_{2}-{\vec {H}}_{1}\right)={\vec {j}}_{F}$

dabei ist

• ${\hat {n}}$ der Normalenvektor auf der Grenzfläche,
• $\sigma _{F}$ die Flächenladungsdichte an der Grenzfläche
• und ${\vec {j}}_{F}$ die Flächenstromdichte, die den Strom pro Flächeneinheit an der Grenzfläche angibt.

Diese Grenzbedingungen sagen aus: Die Tangentialkomponente des E-Feldes und die Normalkomponente des B-Feldes sind stetig. Die Tangentialkomponente des H-Feldes springt um ${\vec {j}}_{\mathrm {F} }$ und die Normalkomponente des D-Feldes springen um $\sigma _{\mathrm {F} }$.

Grenzbedingungen für ungeladene Isolatoren

Für ungeladene Isolatoren vereinfachen sich obige Beziehungen, da es dort keine freien Ladungen $\sigma _{F}=0$ und somit auch keine freien Ströme gibt ${\vec {j}}_{F}=0$.

• ${\hat {n}}\times \left({\vec {E}}_{2}-{\vec {E}}_{1}\right)=0$

• ${\hat {n}}\cdot \left({\vec {D}}_{2}-{\vec {D}}_{1}\right)=0$

• ${\hat {n}}\cdot \left({\vec {B}}_{2}-{\vec {B}}_{1}\right)=0$

• ${\hat {n}}\times \left({\vec {H}}_{2}-{\vec {H}}_{1}\right)=0$

Die Stetigkeitsbedingungen in Worten: Die Tangentialkomponente des E-Feldes und die Normalkomponente des B-Feldes sind stetig. Zusätzlich sind hier die Tangentialkomponente des H-Feldes und die Normalkomponente des D-Feldes stetig.

Grenzbedingungen von isotropen, zeitinvarianten Materialien

In isotropen und zeitinvarianten Materialien gelten die Zusammenhänge

${\begin{aligned}{\vec {D}}&=\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r} }{\vec {E}}\\{\vec {B}}&=\mu _{o}\mu _{\mathrm {r} }{\vec {H}}\end{aligned}}$

Daraus können die restlichen Komponenten der Felder bestimmt werden.

${\begin{array}{ccclccccl}E_{1}^{\parallel }&=&E_{2}^{\parallel }&&\qquad \qquad &\varepsilon _{1}E_{1}^{\perp }&=&\varepsilon _{2}E_{2}^{\perp }&-{\frac {\sigma }{\varepsilon _{0}}}\\{\frac {1}{\varepsilon _{1}}}D_{1}^{\parallel }&=&{\frac {1}{\varepsilon _{2}}}D_{2}^{\parallel }&&&D_{1}^{\perp }&=&D_{2}^{\perp }&-\sigma \\H_{1}^{\parallel }&=&H_{2}^{\parallel }&-{\hat {t}}\cdot ({\vec {j}}_{\mathrm {F} }\times {\hat {n}})&&\mu _{1}H_{1}^{\perp }&=&\mu _{2}H_{2}^{\perp }\\{\frac {1}{\mu _{1}}}B_{1}^{\parallel }&=&{\frac {1}{\mu _{2}}}B_{2}^{\parallel }&-\mu _{0}{\hat {t}}\cdot ({\vec {j}}_{\mathrm {F} }\times {\hat {n}})&&B_{1}^{\perp }&=&B_{2}^{\perp }\\\end{array}}$

oder in nichtleitenden, ungeladen Materialien

${\begin{array}{cccccc}E_{1}^{\parallel }&=&E_{2}^{\parallel }&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad &\varepsilon _{1}E_{1}^{\perp }&=&\varepsilon _{2}E_{2}^{\perp }\\{\frac {1}{\varepsilon _{1}}}D_{1}^{\parallel }&=&{\frac {1}{\varepsilon _{2}}}D_{2}^{\parallel }&&D_{1}^{\perp }&=&D_{2}^{\perp }\\H_{1}^{\parallel }&=&H_{2}^{\parallel }&&\mu _{1}H_{1}^{\perp }&=&\mu _{2}H_{2}^{\perp }\\{\frac {1}{\mu _{1}}}B_{1}^{\parallel }&=&{\frac {1}{\mu _{2}}}B_{2}^{\parallel }&&B_{1}^{\perp }&=&B_{2}^{\perp }\\\end{array}}$

Dabei ist

• $\varepsilon _{\mathrm {r} }$ die relative Permittivität,
• $\mu _{\mathrm {r} }$ die relative Permeabilität,

• $E^{\parallel }$die Komponente des E-Feldes parallel zur Oberfläche und $E^{\perp }$ die Komponente senkrecht zur Oberfläche.
• ${\hat {t}}$ ist der normierte Vektor in Richtung der Parallelkomponente. Für ${\vec {B}}^{\parallel }$ parallel zu ${\vec {j}}_{\mathrm {F} }$ gilt damit ${\hat {t}}\cdot ({\vec {j}}_{\mathrm {F} }\times {\hat {n}})=|{\vec {j}}_{\mathrm {F} }|$.

Siehe auch

• Materialgleichungen der Elektrodynamik
• Fresnelsche Formeln

Weblinks

• Applet zur Demonstration und Herleitung der Stetigkeit an Grenzflächen (Uni Konstanz)