In der Mathematik ist das Gromov-Produkt, benannt nach Michail Leonidowitsch Gromow, ein Konzept aus der Theorie der metrischen Räume. Anschaulich misst es, wie lange zwei in einem Punkt startende Geodäten "nahe beieinander" bleiben.
Definition
Es sei ein metrischer Raum und . Das Gromov-Produkt von und in ist definiert als
Beispiel eines metrischen Baumes, alle Kanten haben Länge 1.
Euklidische Ebene:
Beispiele
Bäume
In einem metrischen Baum ist genau die Länge der Schnittmenge der (eindeutigen) kürzesten Verbindungen von nach und von nach . Im Bild rechts (alle Kanten sollen Länge 1 haben) ist
- .
Euklidische Ebene
Für ein Dreieck ABC in der euklidischen Ebene ist gerade die Länge des Abschnittes auf der Strecke (oder ) von bis zum Berührpunkt der Strecke mit dem Inkreis des Dreiecks. Im Bild rechts unten ist .
Eigenschaften
- Symmetrie: .
- Degeneration in Endpunkten: .
- Für alle und ,
- Das Gromov-Produkt misst, wie lange Geodäten nahe beieinander bleiben: wenn und drei Punkte eines -hyperbolischen metrischen Raumes sind, dann entfernen sich die Segmente der Länge der beiden Geodäten von nach und von nach nicht mehr als Abstand voneinander.
Gromov-Rand
Der Gromov-Rand eines δ-hyperbolischen metrischen Raumes ist definiert als die Menge der Äquivalenzklassen von Folgen mit (sogenannten zulässigen Folgen, anschaulich handelt es sich um gegen unendlich divergierende Folgen) bzgl. der Äquivalenzrelation
für einen beliebigen (fest gewählten) Basispunkt . Die Topologie des Gromov-Randes wird festgelegt durch die Umgebungsbasis
Das Gromov-Produkt lässt sich zu einer stetigen Funktion
fortsetzen.
Literatur
- Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov. Papers from the Swiss Seminar on Hyperbolic Groups held in Bern, 1988. Edited by É. Ghys and P. de la Harpe. Progress in Mathematics, 83. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1990. ISBN 0-8176-3508-4