Grothendieck-Gruppe

Die Grothendieck-Gruppe ist eine mathematische Konstruktion, die einer kommutativen Halbgruppe eine Gruppe zuordnet. Diese nach Alexander Grothendieck benannte Konstruktion ist der Lokalisierung aus der Ringtheorie nachempfunden und kann wie diese durch eine universelle Eigenschaft beschrieben werden.

Universelle Eigenschaft

Es gilt folgender Satz:

Ist $H$ eine kommutative Halbgruppe, so gibt es eine kommutative Gruppe ${\mathcal {G}}(H)$ und einen Halbgruppen-Homomorphismus $\phi _{H}\colon H\rightarrow {\mathcal {G}}(H)$ mit folgender Eigenschaft: Zu jeder Gruppe $G$ und jedem Halbgruppen-Homomorphismus $\phi \colon H\rightarrow G$ gibt es genau einen Gruppen-Homomorphismus $\psi \colon {\mathcal {G}}(H)\rightarrow G$ mit $\phi =\psi \circ \phi _{H}$.

Konstruktion

Ein Beweis ergibt sich aus folgender Konstruktion, die der Lokalisierung aus der Ringtheorie nachempfunden ist. Sei $H$ eine kommutative Halbgruppe. Auf dem kartesischen Produkt $H^{2}=H\times H$ definiere man eine Äquivalenzrelation durch

$(x,y)\sim (x',y')\quad :\Leftrightarrow \quad \exists t\in H:x+y'+t=x'+y+t$.

Man zeigt nun, dass dies tatsächlich eine Äquivalenzrelation definiert, die Äquivalenzklasse von $(x,y)$ wird mit $[(x,y)]$ bezeichnet. Man setzt nun ${\mathcal {G}}(H):=H^{2}/\sim$ und zeigt weiter, dass durch $[(x,y)]+[(x',y')]:=[(x+x',y+y')]$ eine Gruppenverknüpfung auf ${\mathcal {G}}(H)$ definiert wird. Dabei ist $[(x,x)]$ das neutrale Element (unabhängig von $x\in H$), die Inversenbildung ist durch die Formel $-[(x,y)]=[(y,x)]$ gegeben. Setzt man schließlich $\phi _{H}\colon H\rightarrow {\mathcal {G}}(H),x\mapsto [(x+x,x)]$, so kann man zeigen, dass ${\mathcal {G}}(H)$ und $\phi _{H}$ die Bedingung aus der universellen Eigenschaft erfüllen.

Eigenschaften

• Wie üblich zeigt man mit Hilfe der universellen Eigenschaft, dass die Gruppe ${\mathcal {G}}(H)$ bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist. Man nennt daher ${\mathcal {G}}(H)$ die Grothendieck-Gruppe von $H$.
• Der Halbgruppen-Homomorphismus $\phi _{H}$ aus obiger universeller Eigenschaft ist genau dann injektiv, wenn die Halbgruppe die Kürzbarkeitseigenschaft hat.

Beispiele

• Für die Halbgruppe $H=(\mathbb {N} ,+)$ fällt die Bildung der Grothendieck-Gruppe mit der üblichen Konstruktion der ganzen Zahlen zusammen. Man hat daher ${\mathcal {G}}(\mathbb {N} ,+)\cong \mathbb {Z}$, wobei der Isomorphismus durch $[(n,m)]\mapsto n-m$ gegeben ist. Identifiziert man die Grothendieck-Gruppe von $(\mathbb {N} ,+)$ mit $\mathbb {Z}$, so ist $\phi _{H}$ die Inklusion $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z}$. Dabei spielt es keine Rolle, ob man unter $\mathbb {N}$ die natürlichen Zahlen mit oder ohne Null versteht.
• Ganz ähnliche Überlegungen zur multiplikativen Halbgruppe $H=(\mathbb {N} \setminus \{0\},\cdot )$ führen zu ${\mathcal {G}}(\mathbb {N} \setminus \{0\},\cdot )\cong (\mathbb {Q} ^{+},\cdot )$, und bei dieser Identifikation fällt $\phi _{H}$ wieder mit der Inklusion $\mathbb {N} \setminus \{0\}\subset \mathbb {Q} ^{+}$ zusammen.
• Bei der multiplikativen Halbgruppe $H=(\mathbb {N} _{0},\cdot )$ (der Index 0 signalisiere, dass die Null zu $N_{0}$ gehört) liegt keine Kürzungseigenschaft vor. In diesem Fall sind je zwei Paare $(m,n)$ und $(m',n')$ äquivalent, denn es gilt $m\cdot n'\cdot 0=m'\cdot n\cdot 0$. Daher ist ${\mathcal {G}}(\mathbb {N} _{0},\cdot )\cong \{0\}$ und $\phi _{H}(n)=0$ für alle $n\in \mathbb {N} _{0}$.

Grothendieck-Gruppe als Funktor

Die oben beschriebene Konstruktion ordnet jeder kommutativen Halbgruppe eine kommutative Gruppe zu. Ist $\phi \colon H\rightarrow K$ ein Halbgruppen-Homomorphismus in der Kategorie ${\mathcal {H}}$ der kommutativen Halbgruppen, so kann man wie folgt einen Gruppenhomomorphismus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\mathcal G}(\phi)\colon {\mathcal G}(H) \rightarrow {\mathcal G}(K)} konstruieren. Mittels Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi_K\colon K\rightarrow {\mathcal G}(K)} erhält man zunächst einen Halbgruppen-Homomorphismus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi_K\circ\phi\colon H\rightarrow {\mathcal G}(K)} und daraus mittels der universellen Eigenschaft einen Gruppen-Homomorphismus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\mathcal G}(\phi)\colon{\mathcal G}(H) \rightarrow {\mathcal G}(K)} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi_K\circ\phi = {\mathcal G}(\phi)\circ \phi_H} .

Durch diese Definition wird Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\mathcal G}} zu einem kovarianten Funktor von der Kategorie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal H} in die Kategorie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\mathcal Ab}} der abelschen Gruppen.

Betrachtet man eine abelsche Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} nur als Halbgruppe, so kann man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\mathcal G}(G)} bilden. Es stellt sich heraus, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\mathcal G}(G)\cong G} , wobei der Isomorphismus durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [(x,y)]\mapsto x-y} gegeben ist. In der Tat ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\mathcal G}\colon{\mathcal H} \rightarrow {\mathcal Ab}} linksadjungiert zum Vergissfunktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\mathcal Ab} \rightarrow {\mathcal H}} .

Anwendung

Neben der oben beschriebenen Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen ist die Bildung der K₀-Gruppe eines Ringes eine wichtige Anwendung. Zu jedem Ring Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} betrachtet man die Menge (!) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{Proj}(R)} der Isomorphieklassen endlich erzeugter projektiver Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} -links-Moduln mit der direkten Summe als Halbgruppenverknüpfung. Die K₀-Gruppe des Ringes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} wird dann als Grothendieck-Gruppe von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{Proj}(R)} definiert.

Literatur

• Jonathan Rosenberg: Algebraic K-Theory and Its Applications (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 147). Springer, New York NY u. a. 1994, ISBN 3-540-94248-3.