h-Kobordismus

In der Mathematik ist der h-Kobordismus ein Begriff aus der Topologie von Mannigfaltigkeiten.

Definition

Ein $(n+1)$-dimensionaler Kobordismus $W$ zwischen $n$-dimensionalen Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$ heißt h-Kobordismus, wenn die Inklusionen $M\to W$ und $N\to W$ Homotopieäquivalenzen sind.

Die letzte Bedingung kann ersetzt werden durch die a priori schwächere Bedingung $H_{*}(W,M;\mathbb {Z} )=0$ für die relativen Homologiegruppen.

Wichtige Sätze

In Dimensionen $n\geq 5$ ist nach dem h-Kobordismus-Satz (Stephen Smale) jeder h-Kobordismus zwischen einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeiten trivial, also ein Produkt $W\simeq M\times \left[0,1\right]$. (Dies gilt sowohl in der differenzierbaren wie in der stückweise linearen oder in der topologischen Kategorie.)

Wenn die Mannigfaltigkeiten nicht einfach zusammenhängend sind, dann werden nach dem s-Kobordismus-Satz (Barry Mazur, John Stallings, Dennis Barden) die h-Kobordismen durch die Whitehead-Gruppe $Wh(\pi _{1}M)$ der Fundamentalgruppe klassifiziert.

In der topologischen Kategorie gilt der h-Kobordismus-Satz auch in Dimension 4, nicht jedoch in der differenzierbaren Kategorie. Dies hängt mit dem Scheitern des Whitney-Tricks in differenzierbaren 4-Mannigfaltigkeiten zusammen.

Literatur

• John Milnor: Lectures on the h-cobordism theorem, Princeton University Press 1965
• A. Scorpan: The wild world of 4-manifolds, Amer. Math. Soc. 2005, ISBN 978-0-8218-3749-8

Weblinks

• Yu. Rudyak: h-cobordism in: Encyclopedia of Mathematics, Springer/Kluwer, ISBN 978-1-55608-010-4