Halbwertsbreite
Die Halbwertsbreite einer Funktion mit einem Maximum ist die Differenz zwischen den beiden Argumentwerten, für die die Funktionswerte auf die Hälfte des Maximums abgesunken sind, anschaulich also die „Breite bei halber Höhe“.
Entsprechend ist im Englischen und in der Technik für die Halbwertsbreite die Bezeichnung FWHM (Full Width at Half Maximum) gebräuchlich. Ist die Funktion von der Zeit abhängig, wird die Abkürzung FDHM (Full Duration at Half Maximum) verwendet.
Definition
Eine Funktion habe bei ein Maximum. An den Stellen und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2} ist der Wert der Funktion auf die Hälfte des Maximums abgesunken:
- .
Dann ist die Halbwertsbreite die Differenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |x_1-x_2|} .
Umrechnung
Für eine feste Funktionsform kann man die Halbwertsbreite in anders definierte Breiten der Funktion umrechnen. So kann man z. B. bei der Normalverteilung die FWHM und die Standardabweichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma} ineinander umrechnen:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{FWHM} = 2\sqrt{2\ln 2}\,\sigma \approx 2{,}3548\cdot\sigma}
- Der Bereich der FWHM umfasst dabei ca. 76 % der Fläche der Normalverteilung.
Peakverbreiterung
Die Zunahme der Halbwertsbreite eines Peaks wird als Peakverbreiterung bezeichnet. Dabei bleibt die Intensität des Peaks (d. h. sein Integral über der Ausdehnungsgröße) meist gleich, dafür nimmt die Peakhöhe ab.
Mögliche Ursachen für eine Peakverbreiterung sind z. B. in der Physik die Linienverbreiterung (Emissionslinien zeigen energetische Verbreiterung) bzw. die Dispersion (Wellenpakete zerfließen mit der Zeit).
Anwendungsbeispiele
Antennen
In der Antennentechnik wird der Richtfaktor einer Antenne als Halbwertsbreite (oder „Öffnungswinkel“) angegeben. Gemeint ist hier der Abstand zwischen den −3-dB-Leistungsgrenzen. Die Halbwertsbreite der Antenne im nebenstehenden Beispiel ist also 1,67°.
Die Halbwertsbreite in einem horizontalen Richtdiagramm ist oft symmetrisch, weil die Ausbreitungsbedingungen links und rechts vom Leistungsmaximum meist ungefähr gleich sind. Bei einem vertikalen Richtdiagramm ist die Halbwertsbreite meist unsymmetrisch verteilt, weil an der unteren Flanke des Antennendiagramms zum Beispiel der Einfluss der Erdoberfläche als Reflektor wirksam sein kann und an der oberen Flanke nicht.
Beleuchtung
Die Abstrahlcharakteristik einer Leuchte (mit Optik) wird meist vereinfacht mit einem Winkel angegeben. Dieser „Abstrahlwinkel“ ist ebenfalls der Halbwertswinkel, d. h. der volle Winkel zwischen den zwei Punkten einer Leuchtebene, an denen die Lichtstärke nur noch die Hälfte des Maximums erreicht. Bei dieser vereinfachten Angabe wird von einer zur Leuchtachse rotationssymmetrischen Lichtverteilungskurve ausgegangen.
Optische Filter
Die Halbwertsbreite findet bei der Charakterisierung von Bandpass- und Bandsperrfiltern Anwendung. Die zugrundeliegende Funktion beschreibt hierbei den Transmissionsgrad in Abhängigkeit der Wellenlänge: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tau = f(\lambda)} . Bei halbmaximaler Transmission Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{1}{2}\cdot\tau_\text{max}} des Transmissionspeaks wird die spektrale Halbwertsbreite definiert als .[1] Optische Interferenzfilter mit sehr geringer FWHM (Schmal-Bandpassfilter, Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \Delta \lambda _{0,5}\approx } 1 nm) besitzen neben dem hochselektiven Transmissionsgrad für einen definierten Wellenlängenbereich auch weitere technische Eigenschaften, die beim praktischen Einsatz berücksichtigt werden müssen, wie z. B. eine hohe geometrische Winkelabhängigkeit des Transmissionsgrads der auftreffenden Lichtwellen im Transmissionsintervall.[2]
Einzelnachweise
- ↑ Martin Löffler-Mang, Helmut Naumann, Gottfried Schröder: Handbuch Bauelemente der Optik: Grundlagen, Werkstoffe, Geräte, Messtechnik. 8. Auflage. Carl Hanser Verlag GmbH & Co. KG, 2020, ISBN 978-3-446-42625-2, S. 248 ff.
- ↑ Interference Filters - Optical Components. Abgerufen am 22. Februar 2022.
