Handschlaglemma

In der Graphentheorie besagt das Handschlaglemma, dass in jedem endlichen einfachen Graphen die Summe der Grade aller Knoten genau doppelt so groß ist wie die Anzahl seiner Kanten.

Formal heißt das: Ist $G=(V,E)$ ein Graph und bezeichnet $d_{G}(v)$ den Grad des Knotens $v\in V$ (bei gerichteten Graphen werden sowohl die Ein- als auch die Ausgangs-Grade gezählt), so gilt

$\sum _{v\in V}d_{G}(v)=2\cdot |E|.$

Daraus folgt sofort, dass jeder Graph eine gerade Anzahl von Knoten ungeraden Grades hat.

Bei regulären Graphen vereinfacht sich die Formel. Für einen $k$-regulären Graphen gilt

$k\cdot |V|=2\cdot |E|.$

Das Handschlaglemma wurde im Rahmen des Königsberger Brückenproblems 1736 von Leonhard Euler bewiesen.

Der Name des Handschlaglemmas kommt von dem Beispiel, dass die Anzahl der Personen auf einer Party, die einer ungeraden Zahl von Gästen die Hand geben, gerade ist.

Literatur

• Lutz Volkmann: Fundamente der Graphentheorie. Springer, Wien 1996, ISBN 3-211-82774-9, S. 5, Satz 1.1

Weblinks

• Handschlag-Lemma auf PlanetMath (englisch)
• Lutz Volkmann: Graphen an allen Ecken und Kanten (PDF; 3,5 MB). Skript 2006, S. 4, Satz 1.1