Heronisches Dreieck

In der Geometrie versteht man unter einem heronischen Dreieck ein Dreieck, bei dem die Seitenlängen und der Flächeninhalt rationale Zahlen sind. Es ist benannt nach Heron von Alexandria.

Beispiele

Jedes Dreieck, dessen Seitenlängen ein pythagoreisches Tripel bilden, ist heronisch, da die Seitenlängen eines solchen Dreiecks ganzzahlig sind und da sein Flächeninhalt gleich dem halben Produkt der beiden kürzeren Seitenlängen ist. (Aus der Umkehrung des Satzes von Pythagoras folgt nämlich die Rechtwinkligkeit des Dreiecks.)

Dreieck mit den Seitenlängen c, e und b + d sowie der Höhe a

Ein heronisches Dreieck muss nicht unbedingt rechtwinklig sein. Dies zeigt sich am Beispiel des gleichschenkligen Dreiecks mit den Seitenlängen Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle 5,5} und $6$. Dieses Dreieck lässt sich aus zwei kongruenten rechtwinkligen Dreiecken mit den Seitenlängen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3, 4, 5} zusammensetzen. Der Flächeninhalt beträgt daher Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12} . Das Beispiel lässt sich leicht verallgemeinern: Nimmt man ein pythagoreisches Tripel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a,b,c)} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c} als größter Zahl und ein weiteres pythagoreisches Tripel $(a,d,e)$ mit $e$ als größter Zahl, so kann man, wie aus der nebenstehenden Zeichnung erkennbar, die entsprechenden Dreiecke entlang der beiden Seiten mit der Länge $a$ zu einem heronischen Dreieck zusammensetzen. Das neue Dreieck hat die Seitenlängen $c,e$ und $b+d$. Für den Flächeninhalt erhält man

$A={\frac {1}{2}}(b+d)a$ (einhalbmal Grundseite mal Höhe).

Es ist nun interessant zu fragen, ob man durch dieses Verfahren, also das Zusammenfügen zweier rechtwinkliger Dreiecke, die in einer Kathetenlänge übereinstimmen, jedes heronische Dreieck erhält. Die Antwort ist nein. So kann etwa das heronische Dreieck mit den Seitenlängen $0{,}5,0{,}5$ und $0{,}6$, also die um den Faktor 10 geschrumpfte Version des oben beschriebenen Dreiecks, natürlich nicht in Teildreiecke mit ganzzahligen Seitenlängen zerlegt werden. Ähnliches gilt für das heronische Dreieck mit den Seitenlängen Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle 5,29,30} und dem Flächeninhalt Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle 72} , da keine der drei Höhen dieses Dreiecks ganzzahlig ist. Lässt man für Tripel jedoch beliebige rationale (also nicht notwendig natürliche) Zahlen zu, so lässt sich die gestellte Frage mit ja beantworten. (Man beachte, dass man jedes Tripel aus rationalen Zahlen dadurch erhalten kann, dass man die Werte eines Tripels aus ganzen Zahlen durch dieselbe ganze Zahl dividiert.)

In einem heronischen Dreieck ist der Tangens jedes Halb(innen)winkels eine rationale Zahl, so auch der Sinus bzw. Cosinus jedes ganzen Innenwinkels.

Satz zur Zerlegbarkeit in rechtwinklige heronische Dreiecke

Jedes heronische Dreieck lässt sich in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegen, deren Seitenlängen durch pythagoreische Tripel aus rationalen Zahlen gegeben sind.

Beweis des Satzes

Man betrachte wieder die obige Skizze, wobei dieses Mal vorausgesetzt wird, dass $c,e,b+d$ und die Dreiecksfläche $A$ rational sind. Wir können annehmen, dass die Bezeichnungen so gewählt wurden, dass die Seitenlänge $b+d$ am größten ist. Damit ist gesichert, dass das von der gegenüberliegenden Ecke auf diese Seite gefällte Lot innerhalb des Dreiecks liegt. Um zu zeigen, dass die Tripel $(a,b,c)$ und $(a,d,e)$ pythagoreische Tripel sind, muss man beweisen, dass $a,b$ und $d$ rational sind.

Da für die Dreiecksfläche

$A={\frac {1}{2}}\;\!a\;\!(b+d)$

gilt, kann man nach $a$ auflösen und findet so

$a={\frac {2A}{b+d}}$ .

Dieser Rechenausdruck ist rational, da alle Zahlen der rechten Seite rational sind. Es bleibt also nur noch zu zeigen, dass auch $b$ und $d$ rational sind. Aus dem Satz des Pythagoras, angewandt auf die beiden rechtwinkligen Dreiecke erhält man

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

und

$a^{2}+d^{2}=e^{2}$.

Subtraktion dieser Gleichungen ergibt:

$b^{2}-d^{2}=c^{2}-e^{2}$,

$(b-d)(b+d)=c^{2}-e^{2}$,

$b-d={\frac {c^{2}-e^{2}}{b+d}}$.

Die rechte Seite der letzten Gleichung muss rational sein, da nach der Voraussetzung $c,e$ und $b+d$ rational sind. Damit ist bewiesen, dass $b-d$ rational ist. Aus dieser Aussage folgt wegen der Rationalität von $b+d$, dass auch $b$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d} rational sind.

Fast gleichseitige heronische Dreiecke

Heronische Dreiecke können nicht gleichseitig sein, da die Fläche eines solchen Dreiecks mit ganzzahliger Seitenlänge immer irrational ist. Es gibt jedoch unendlich viele Heronische Dreiecke der „beinahe“ gleichseitigen Form Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (n-1,n,n+1)} . Die Folge der ganzen Zahlen, die zu so einer Lösung führen, ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n = 4, 14, 52, \dotsc} (Folge A003500 in OEIS) und hängt mit einer Lucas-Folge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_t = 4n_{t-1} - n_{t-2}} und der Pellschen Gleichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2 - 3y^2 = 1} zusammen.

Literatur

• Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49327-3.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Heronian Triangle. In: MathWorld (englisch).
• Sascha Kurz: On the Generation of Heronian Triangles. (Memento vom 8. Mai 2016 im Internet Archive). (PDF; 269 kB), Uni-Bayreuth.