Homogene lineare Differentialgleichung

Homogene lineare Differentialgleichungen sind eine wichtige Klasse linearer Differentialgleichungen. Es handelt sich um Differentialgleichungen der Form

$x^{(n)}(t)=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}(t)x^{(k)}(t)\,.$

Hierbei sind die $a_{k}$ vorgegebene Funktionen, etwa auf einem Intervall, und das hochgestellte ${}^{(k)}$ steht für die $k$-te Ableitung nach der Variablen $t$. Gesucht ist eine Funktion $x$, die obige Gleichung für alle $t$ auf einem vorgegebenen Definitionsbereich erfüllt.

Homogene lineare Differentialgleichungen erster Ordnung

Die homogene lineare Differentialgleichung

$x^{\prime }(t)=a(t)x(t)$

mit Anfangswert $x(t_{0})=x_{0}$ hat die eindeutige Lösung

$x(t)=e^{\int _{t_{0}}^{t}a(s)ds}x_{0}.$

Homogene lineare Differentialgleichung höherer Ordnung

Konstante Koeffizienten

Zu einer Differentialgleichung

$a_{n}x^{(n)}(t)+a_{n-1}x^{(n-1)}(t)+\ldots +a_{1}x^{\prime }(t)+a_{0}x(t)=0$

mit $a_{n},\ldots ,a_{0}\in \mathbb {R}$ betrachtet man ihr „charakteristisches Polynom“ $P(\lambda )=a_{n}\lambda ^{n}+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+\ldots +a_{1}\lambda +a_{0}$. Dieses habe die Nullstellen $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}$ mit zugehörigen Vielfachheiten $\nu _{1},\ldots ,\nu _{k}$. Dann sind alle Lösungen von der Form

$x(t)=\sum _{l=1}^{k}\sum _{m=0}^{\nu _{k}-1}c_{lm}t^{m}e^{\lambda _{l}t}$

mit Koeffizienten $c_{lm}\in \mathbb {C}$.

Allgemeiner Fall

Durch die Substitution $x_{1}(t)=x(t),x_{2}(t)=x^{\prime }(t),\ldots ,x_{n}(t)=x^{(n-1)}(t)$ lässt sich die homogene lineare Differentialgleichung

$a_{n}(t)x^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)x^{(n-1)}(t)+\ldots +a_{1}(t)x^{\prime }(t)+a_{0}(t)x(t)=0$

in das lineare Differentialgleichungssystem

$x_{1}^{\prime }(t)=x_{2}(t)$

$\ldots$

$x_{n-1}^{\prime }(t)=x_{n}(t)$

$x_{n}^{\prime }(t)=-{\frac {a_{0}}{a_{n}}}x_{1}(t)-\ldots -{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}x_{n}(t)$

überführen. Die Lösungen dieses linearen homogenen Differentialgleichungssystems bilden einen Vektorraum. Eine Basis dieses Vektorraums wird als Fundamentalsystem bezeichnet.

Beispiele

1. Die Lösung des Anfangswertproblems $x^{\prime }(t)=-\sin t\cdot x(t),x(0)=x_{0}$ ist $x(t)=e^{\cos t}x_{0}$.
2. Die Differentialgleichung $x^{(3)}(t)-5x^{\prime \prime }(t)+8x^{\prime }(t)-4x(t)=0$ hat das charakteristische Polynom $P(\lambda )=\lambda ^{3}-5\lambda ^{2}+8\lambda -4=(\lambda -1)(\lambda -2)^{2}$ und damit die Lösungen $x(t)=c_{1}e^{t}+c_{2}e^{2t}+c_{3}te^{2t}$.