Householder-Verfahren

Die Householder-Verfahren sind eine Gruppe von numerischen Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen einer skalaren reellen Funktion. Sie sind nach Alston Scott Householder benannt.

Beschreibung des Verfahrens

Sei $d$ eine natürliche Zahl und $f\colon I\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ eine mindestens $(d+1)$-fach stetig differenzierbare Funktion, die im Intervall $I$ eine einfache Nullstelle $a$ besitze, d. h. $f'(a)\neq 0$. Sei $x_{0}$ ein Startwert nahe genug an $a$. Dann konvergiert die durch die Iteration

$x_{k+1}=x_{k}+d{\frac {(1/f)^{(d-1)}(x_{k})}{(1/f)^{(d)}(x_{k})}}\quad {\text{mit }}k=0,1,2,\dots$

erzeugte Folge $(x_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ sukzessiver Approximationen mit Konvergenzordnung $d+1$ gegen $a$. Das heißt, es gibt eine Konstante $K>0$ mit

$|x_{k+1}-a|\leq K\cdot |x_{k}-a|^{d+1}$.

Für $d=1$ ergibt sich das Newton-Verfahren, für $d=2$ das Halley-Verfahren.

Motivation

Hat $f$ eine einfache Nullstelle in $a$, so gibt es eine $d$-fach stetig differenzierbare Funktion $g$ mit $g(a)=f'(a)\neq 0$ und $f(x)=g(x)(x-a)$. Die reziproke Funktion ${\frac {1}{f}}$ hat einen Pol der Ordnung $1$ in $a$. Liegt $x$ nahe $a$, so wird die Taylorentwicklung von ${\frac {1}{f}}$ in $x$ von diesem Pol dominiert,

${\begin{aligned}(1/f)(x+h)&=\sum _{k=0}^{d}(1/f)^{(k)}(x){\frac {h^{k}}{k!}}+{\mathcal {O}}(h^{d+1})\\[1em]={\frac {1}{g(x+h)(x+h-a)}}&={\frac {1}{g(x+h)(a-x)}}\sum _{k=0}^{d}\left({\frac {h}{a-x}}\right)^{k}+{\mathcal {O}}(h^{d+1})\end{aligned}}$

Betrachtet man $g(x+h)$ als sich langsam ändernd bis nahezu konstant zu $f^{\prime }(a)$, dann sind die Taylorkoeffizienten umgekehrt proportional zu den Potenzen von $x-a$, also

${\begin{aligned}&(1/f)^{(k)}(x)\approx {\frac {k!}{f'(a)\,(a-x)^{k+1}}}\\\implies &{\frac {(1/f)^{(k-1)}(x)}{(1/f)^{(k)}(x)}}\approx {\frac {a-x}{k}}\\\implies &a\approx x+k{\frac {(1/f)^{(k-1)}(x)}{(1/f)^{(k)}(x)}}\end{aligned}}$

für $k=1,\ldots ,d.$

Beispiel

Die von Newton zur Demonstration seines Verfahrens benutzte Polynomgleichung war $x^{3}-2x-5=0$. In einem ersten Schritt wurde beobachtet, dass es eine Nullstelle nahe $x=2$ geben muss. Durch Einsetzen von $x=2+h$ erhält man erst

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(2+h)=-1 + 10 h + 6 h^2 + h^3}

und anschließend durch Invertieren dieses Polynoms als Taylorreihe

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} (1/f)(2+h)=& - 1 - 10\,h - 106 \,h^2 - 1121 \,h^3 - 11856 \,h^4 - 125392 \,h^5\\ & - 1326177 \,h^6 - 14025978 \,h^7 - 148342234 \,h^8 - 1568904385 \,h^9\\ & - 16593123232 \,h^{10} + \mathcal O(h^{11}) \end{align}}

Das Ergebnis des ersten Schritts des Householder-Verfahrens einer gegebenen Ordnung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d} erhält man auch, indem man den Koeffizienten des Grades Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d} durch seinen linken Nachbarn in dieser Entwicklung teilt. Dies ergibt folgende Näherungen aufsteigender Ordnung

d	x1=2+
1	0,100000000000000000000000000000000
2	0,094339622641509433962264150943396
3	0,094558429973238180196253345227476
4	0,094551282051282051282051282051282
5	0,094551486538216154140615031261963
6	0,094551481438752142436492263099119
7	0,094551481543746895938379484125813
8	0,094551481542336756233561913325371
9	0,094551481542324837086869382419375
10	0,094551481542326678478801765822985

Es ergeben sich also in diesem Beispiel etwas mehr als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d} gültige Dezimalstellen für den ersten Schritt im Verfahren der Ordnung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d.}

Quellen

• Alston Scott Householder, Numerical Treatment of a Single Nonlinear Equation, McGraw Hill Text, New York, 1970. ISBN 0-07-030465-3
• Newton's method and high order iterations, Pascal Sebah and Xavier Gourdon, 2001 (Auf der Seite ist eine Postscript-Version mit korrekter Formeldarstellung verlinkt.)