Huber-Paar

Ein Huber-Paar (auch affinoider Ring) ist ein spezielles Paar topologischer Ringe. Huber-Paare sind der Grundbaustein der von Roland Huber eingeführten adischen Räume, so wie kommutative Ringe die Grundbausteine von Schemata sind.

Definition

Ein Huber-Paar $(A,A^{+})$ besteht aus einem Huber-Ring $A$ und einem offenen und in $A$ ganzabgeschlossenen Teilring $A^{+}$ , der im Ring potenz-beschränkter Elemente $A^{\circ }\subset A$ enthalten ist.^[1]

Ein Huber-Paar heißt Tate (bzw. vollständig), falls $A$ ein Tate-Ring (bzw. vollständiger Ring) ist.

Beispiele

$(\mathbb {Q} _{p},\mathbb {Z} _{p})$ mit der $p$ -adischen Topologie ist ein vollständiges Tate Huber-Paar. Es ist $p\in \mathbb {Q} _{p}^{\times }$ eine topologisch nilpotente Einheit, denn $\lim _{n\to \infty }p^{n}=0$ in der $p$ -adischen Topologie.
Sei $\mathbb {F}$ ein endlicher Körper. Das Paar $(\mathbb {F} ((t)),\mathbb {F} [[t]])$ mit der $t$ -adischen Topologie ist ein vollständiges Tate Huber-Paar. Es ist $t\in \mathbb {F} ((t))^{\times }$ ist eine topologisch nilpotente Einheit, denn $\lim _{n\to \infty }t^{n}=0$ in der $t$ -adischen Topologie.
Ist allgemeiner $K$ ein lokaler Körper mit Ganzheitsring ${\mathcal {O}}_{K}$ und uniformisierendem Element $\varpi$ , so ist $(K,{\mathcal {O}}_{K})$ ein vollständiges Tate Huber-Paar mit Definitionspaar $({\mathcal {O}}_{K},\varpi {\mathcal {O}}_{K})$ .