Hyperbolische Ebene
Die hyperbolische Ebene ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der Geometrie, genauer aus der Hyperbolischen Geometrie. Dieses geometrische Objekt gehört neben der euklidischen Ebene und der Sphäre zu den Modellräumen der Flächentheorie. Denn sie hat die konstante Gauß- beziehungsweise Schnittkrümmung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -1} . Der euklidische Raum hat Krümmung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0} und die Sphäre die Krümmung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1} . Im Gegensatz zu diesen beiden Räumen kann die hyperbolische Ebene als Ganzes nicht in den euklidischen Raum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^3} eingebettet werden.[1]
Definition
Die hyperbolische Ebene ist definiert als der 2-dimensionalen hyperbolische Raum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb H^2} , also als eine zweidimensionale, einfach zusammenhängende, vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung konstant .
Man kann die hyperbolische Ebene mit dem poincaréschen Halbraum-Modell charakterisieren. Stattet man also die Halbebene Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{(x,y) \in \R^2 : y > 0\}} mit der Metrik Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g = y^{-2} (\mathrm{d} x^2 + \mathrm{d} y^2)} aus, so erhält man die hyperbolische Ebene.[2]
Im Sinne des Erlanger Programms lässt sich die hyperbolische Ebene interpretieren als die Geometrie des Paares Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (SL(2,\mathbb R),SO(2))} .
Axiomatisch charakterisieren lässt sich die hyperbolische Ebene dadurch, dass sie mit Ausnahme des Parallelenaxioms alle Axiome der euklidischen Geometrie erfüllt und zusätzlich noch das Axiom, dass es zu einer Geraden g und einem Punkt P (der nicht auf g liegt) mindestens zwei Geraden (h und i) gibt, die durch P gehen und zu g parallel (d. h. disjunkt) sind.
Andere Verwendungen des Begriffs "Hyperbolische Ebene"
- In der Inzidenzgeometrie ist eine (endliche) hyperbolische Ebene eine (endliche) Menge von "Punkten" H mit gewissen Teilmengen als "Geraden", die folgende Axiome erfüllen:
- 1. je zwei unterschiedliche Punkte gehören zu genau einer Geraden,
- 2. wenn ein Punkt P nicht zu einer Geraden l gehört, dann gibt es mindestens zwei zu l disjunkte P enthaltende Geraden,
- 3. wenn eine Menge von Punkten S drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte enthält sowie alle Punkte auf Geraden durch je zwei in S liegende Punkte enthält, dann ist S=H.
- In der Theorie der Symmetrischen Räume gibt es neben der (in diesem Zusammenhang als reell-hyperbolische Ebene bezeichneten) hyperbolischen Ebene noch die komplex-hyperbolische, quaternionisch-hyperbolische und Cayley-hyperbolische Ebene.
- In den Arbeiten von Helmut Karzel und seinen Schülern bezeichnet "Hyperbolische Ebene" einen angeordneten Inzidenzraum mit einer Kongruenzrelation, der bestimmte Axiome erfüllt. Dieser Begriff axiomatisiert die Anordnungs- und Inzidenzeigenschaften der oben definierten Hyperbolischen Ebene, ohne auf ihre Metrik bezugzunehmen.
- Der 2-dimensionale quadratische Raum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (V,q)} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q(x,y)=xy} wird als hyperbolische Ebene bezeichnet. Diese Definition steht in keinem direkten Zusammenhang mit der oben definierten.
Weblinks
Einzelnachweise
- ↑ John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature (= Graduate Texts in Mathematics 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8, S. 7.
- ↑ John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature (= Graduate Texts in Mathematics 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8, S. 7, 38.
