Hypotenuse

[[Hilfe:Cache|Fehler beim Thumbnail-Erstellen]]:

Ein rechtwinkliges Dreieck und seine Hypotenuse

In der Geometrie ist Hypotenuse die Seite gegenüber dem rechten Winkel eines Dreiecks. Die Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks kann mit dem Satz des Pythagoras ermittelt werden, der besagt, dass das Quadrat der Länge der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Längen der beiden anderen Seiten ist. Wenn zum Beispiel eine der Katheten eine Länge von 3 cm (im Quadrat 9 cm²) und die andere eine Länge von 4 cm (im Quadrat 16 cm²) hat, addieren sich ihre Quadrate zu 25 cm². Die Länge der Hypotenuse ist die Quadratwurzel von 25 cm², das sind 5 cm.

Etymologie

Das Wort Hypotenuse stammt aus dem Griechischen

ἡ τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτείνουσα

(sc.

γραμμή

or

πλευρά

), dies bedeutet „Seite gegenüber dem rechten Winkel“ (Apollodorus). Das nominalisierte Partizip,

ἡ ὑποτείνουσα

, wurde bis in das vierte Jahrhundert v. Chr. für die Hypotenuse des Dreiecks verwendet (belegt in Plato, Timaios 54d). Der griechische Begriff wurde in der Form hypotēnūsa ins Spätlateinische entlehnt. Die Schreibweise mit angehängtem -e als Hypotenuse ist französischen Ursprungs (Estienne de La Roche 1520).

Berechnung

Ein rechtwinkliges Dreieck

Datei:Right triangle abchpq.svg

Mit Hilfe von zwei vorgegebenen Längen oder einer Länge und einem spitzen Winkel kann die Länge der Hypotenuse berechnet werden.

Zwei Katheten

Nennt man bei einem rechtwinkligen Dreieck wie üblich die Länge der Hypotenuse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c} und die Längen der Katheten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} , so gilt nach dem Satz des Pythagoras:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$

Löst man das nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c} auf, so erhält man (unter der Bedingung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c \ge 0} ) die Formel

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c = \sqrt{a^2 + b^2},}

mit der man die Länge der Hypotenuse berechnen kann.

Kathete und Höhe

Die Höhe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} teilt ein rechtwinkliges Dreieck in zwei Teildreiecke. Der Fußpunkt der Höhe teilt die Hypotenuse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c} in die Hypotenusenabschnitte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q} . Nach dem Satz des Pythagoras gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h^2 + p^2 = a^2} , also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p = \sqrt{a^2 - h^2}} . Das rechtwinklige Dreieck ist ähnlich zu seinen Teildreiecken, weil die drei Innenwinkel gleich sind. Deshalb stimmen entsprechende Seitenverhältnisse überein und es gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{c}{a} = \frac{a}{p}} , also

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c = \frac{a^2}{p} = \frac{a^2}{\sqrt{a^2-h^2}}}

und ebenso

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c = \frac{b^2}{q} = \frac{b^2}{\sqrt{b^2-h^2}}.}

Kathete und spitzer Winkel

Nach Definition von Sinus und Kosinus gilt:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \sin(\alpha )={\frac {a}{c}},\quad \cos(\alpha )={\frac {b}{c}},\quad \sin(\beta )={\frac {b}{c}},\quad \cos(\beta )={\frac {a}{c}}}

$c={\frac {a}{\sin(\alpha )}},\quad c={\frac {b}{\cos(\alpha )}},\quad c={\frac {b}{\sin(\beta )}},\quad c={\frac {a}{\cos(\beta )}}$

Höhe und spitzer Winkel

Nach Definition von Tangens und Kotangens gilt für die Seiten und Winkel der Teildreiecke:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tan(\alpha) = \frac{p}{h}, \quad \cot(\alpha) = \frac{q}{h}, \quad \tan(\beta) = \frac{q}{h}, \quad \cot(\beta) = \frac{p}{h}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p = h \cdot \tan(\alpha), \quad q = h \cdot \cot(\alpha), \quad q = h \cdot \tan(\beta), \quad p = h \cdot \cot(\beta)}

Daraus ergibt sich für die Länge der Hypotenuse

$c=p+q=h\cdot \tan(\alpha )+h\cdot \cot(\alpha )=h\cdot (\tan(\alpha )+\cot(\alpha ))$

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c = p + q = h \cdot \cot(\beta) + h \cdot \tan(\beta) = h \cdot (\cot(\beta) + \tan(\beta))}

Viele Computersprachen unterstützen die ISO-C-Standardfunktion hypot(x, y), die den obigen Wert zurückgibt. Die Funktion ist so konzipiert, dass sie auch dann nicht fehlschlägt, wenn die einfache Berechnung nach der Formel über- oder unterlaufen kann, und ist auch oft etwas genauer.

Einige wissenschaftliche Taschenrechner bieten eine Funktion zum Konvertieren von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten. Diese gibt gleichzeitig sowohl die Länge der Hypotenuse als auch den Winkel aus, den die Hypotenuse mit der Basislinie bildet, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} gegeben sind. Der zurückgegebene Winkel wird normalerweise durch arctan2(y, x) angegeben.

Eigenschaften

Datei:Right triangle abchpq.svg

Orthogonalprojektionen:

• Die Länge der Hypotenuse ist die Summe der Längen der Orthogonalprojektionen beider Katheten.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c = p + q}

• Die Höhe teilt ein rechtwinkliges Dreieck in zwei Teildreiecke. Das rechtwinklige Dreieck ist ähnlich zu seinen Teildreiecken, weil die drei Innenwinkel gleich sind (siehe Abbildung). Deshalb gelten folgende Seitenverhältnisse:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{a}{c} = \frac{p}{a}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{b}{c} = \frac{q}{b}}

• Das Quadrat der Länge einer Kathete ist das Produkt der Länge seiner Orthogonalprojektion und der Länge der Hypotenuse.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a^2 = p \cdot c}

$b^{2}=q\cdot c$

• Also ist die Länge einer Kathete das geometrische Mittel zwischen der Länge seiner Orthogonalprojektion und der Länge der Hypotenuse.

$a={\sqrt {p\cdot c}}$

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b = \sqrt{q \cdot c}}

Trigonometrische Funktionen

Mit Hilfe trigonometrischer Funktionen kann man die Werte der beiden spitzen Winkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta} des rechtwinkligen Dreiecks berechnen.

Gegeben sind die Längen der Hypotenuse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c} und der Kathete Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} , für deren Verhältnis gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{b}{c} = \sin(\beta)}

Die trigonometrische Umkehrfunktion ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta = \arcsin\left(\frac {b}{c}\right),}

in der $\beta$ der Winkel gegenüber der Kathete Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} ist. Der angrenzende Winkel der Kathete Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha = 90^\circ - \beta.} Man kann die Größe des Winkels Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta} auch durch die Formel

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta = \arccos\left(\frac {a}{c}\right)\,}

berechnen, in der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} die andere Kathete darstellt.

Siehe auch

• Dreieck
• Manhattan-Metrik
• Trigonometrie
• Pythagoras

Weblinks

• Hypotenuse in der Encyclopaedia of Mathematics
• Eric W. Weisstein: Hypotenuse. In: MathWorld (englisch).