Hölderstetigkeit

Die Hölderstetigkeit (nach Otto Hölder) ist ein Konzept der Mathematik, das vor allem in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen von zentraler Bedeutung ist. Sie ist eine Verallgemeinerung der Lipschitzstetigkeit.

Definition

Sei $U\subset \mathbb {R}$ offen und $0<\alpha \leq 1$ . Eine Abbildung $f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ heißt hölderstetig zum Exponenten $\alpha$ genau dann, wenn eine positive reelle Zahl $C$ existiert, so dass für alle $x,y\in U$ gilt:

\vert f(x)-f(y)\vert \leq C\vert x-y\vert ^{\alpha }

.

Allgemeiner heißt eine Funktion $f\colon \Omega \subset E\rightarrow F$ zwischen zwei metrischen Räumen $(E,d_{E})$ und $(F,d_{F})$ hölderstetig mit Exponent $\alpha$ und Konstante $C$ , falls für alle $x,y\in \Omega$

d_{F}(f(x),f(y))\leq C(d_{E}(x,y))^{\alpha }

gilt.

Beispiel

Für $0<\alpha \leq 1$ ist die Funktion $f\colon {[0,\infty [}\rightarrow \mathbb {R}$ mit $f(x)=x^{\alpha }$ hölderstetig zum Exponenten $\alpha$ mit Konstante $C=1$ , denn für $0<x<y$ ergibt sich $1-{\frac {x^{\alpha }}{y^{\alpha }}}\leq 1-{\frac {x}{y}}\leq {\bigg (}1-{\frac {x}{y}}{\bigg )}^{\alpha }$ , also $\vert x^{\alpha }-y^{\alpha }\vert \leq \vert x-y\vert ^{\alpha }$ .

Eigenschaften

Die Definition ergibt im Spezialfall $\alpha =1$ die Lipschitzstetigkeit. Insbesondere ist also jede lipschitzstetige Funktion auch hölderstetig.
Hölderexponenten außerhalb von $(0,1]$ werden üblicherweise nicht betrachtet. Im Falle von $\alpha =0$ erhielte man so beschränkte, aber nicht notwendigerweise stetige Funktionen. Im Falle $\alpha >1$ erfüllen nur konstante Funktionen die Bedingung aus der Definition.
Jede hölderstetige Funktion ist gleichmäßig stetig: Setze für gegebenes $\varepsilon >0$ etwa $\delta :=(\varepsilon /C)^{1/\alpha }$ . Dann folgt aus $|x-y|\leq \delta$ wie gewünscht $|f(x)-f(y)|\leq \varepsilon$ .
Nicht jede gleichmäßig stetige Funktion ist hölderstetig. Dies zeigt folgendes Beispiel: Sei $a\in (0,1)$ eine beliebig gewählte Konstante. Die auf dem Intervall $[0,a]$ gemäß
$f(x):=\left\{{\begin{array}{cl}-1/\ln x&{\text{für }}0<x\leq a\\0&{\mbox{bei }}x=0\end{array}}\right.$
definierte Funktion $f$ ist laut Satz von Heine gleichmäßig stetig. Wäre sie auch hölderstetig, dann gäbe es Konstanten $C>0$ und $\alpha \in (0,1]$ mit $f(x)\leq Cx^{\alpha }$ für alle $x\in (0,a]$ , also insbesondere
$C\geq \lim \limits _{x\downarrow 0}{\frac {-x^{-\alpha }}{\ln x}}=\lim \limits _{x\downarrow 0}\alpha x^{-\alpha }$
laut Regel von de L’Hospital, was einen Widerspruch ergibt.