Kriging

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Farbliche Darstellung von Ertragswerten eines Ackers nach einer Kriging-Interpolation

Unter Kriging (oder auch: Krigen) versteht man ein geostatistisches Verfahren, mit dem man Werte an Orten, für die keine Stichprobe vorliegt, durch umliegende Messwerte interpolieren oder auch annähern kann. Außerhalb der Geostatistik ist das Verfahren als Gaußprozess-Regression bekannt.

Der südafrikanische Bergbauingenieur Danie Krige versuchte 1951, eine optimale Interpolationsmethode für den Bergbau zu entwickeln, basierend auf der räumlichen Abhängigkeit von Messpunkten. Das Verfahren wurde später nach ihm benannt. Der französische Mathematiker Georges Matheron (1963) entwickelte die „Theorie der regionalisierten Variable“, welche die theoretische Grundlage der von Danie Krige entwickelten Methode bildet.

Der wesentliche Vorteil gegenüber einfacheren Methoden wie beispielsweise der Inversen Distanzwichtung ist die Berücksichtigung der räumlichen Varianz, die sich mit Hilfe der Semivariogramme ermitteln lässt. Für einen gesuchten Wert werden dabei die Gewichte der in die Berechnung einfließenden Messwerte so bestimmt, dass die Schätzfehlervarianz möglichst gering ist. Der Fehler hängt dabei von der Qualität des Variogramms bzw. der Variogrammfunktion ab.

Bei einfacheren Interpolationsverfahren können bei Häufung der Messpunkte Probleme auftreten. Dies wird beim Kriging vermieden und zwar durch die Berücksichtigung der statistischen Abstände zwischen der in die Berechnung eines Punktes einfließenden Nachbarn und Optimierung der gewichteten Mittel. Kriging beruht auf effizienten und erwartungstreuen Schätzern. Tritt an einer Stelle eine Clusterung auf, werden die Gewichte der Punkte innerhalb dieses Clusters gesenkt.

Mathematische Formulierung

Bezeichne $Y(x)$ das interessierende Merkmal am Ort $x$. In der Regel ist $Y(x)$ eine Zufallsgröße. Wenn man das Merkmal an den Orten $x_{1},\dotsc ,x_{n}$ beobachtet hat mit den Werten $y_{1},\dotsc ,y_{n}$, dann versteht man unter Kriging die Berechnung der besten linearen Vorhersage ${\hat {Y}}(x)$ für das Merkmal $Y(x)$ am nichtbeobachteten Ort $x$. Beste Vorhersage bedeutet, dass der mittlere quadratische Fehler zwischen ${\hat {Y}}(x)$ und $Y(x)$ minimiert wird.

Spezialfälle

• Simple Kriging: Der Erwartungswert $EY(x)=m(x)$ ist konstant und bekannt, d. h. $m(x)=m$.
• Ordinary Kriging: Der Erwartungswert $m(x)$ ist konstant, aber unbekannt, muss also geschätzt werden.
• Universal Kriging: $m(x)$ ist nicht konstant und wird durch einen linearen Regressionsansatz modelliert. Die Regressionsparameter werden mit geschätzt.
• Indikator-Kriging: Für Merkmale mit nur zwei Ausprägungen (z. B. Grenzwert überschritten – ja oder nein)
• Bayesian Kriging: Wenn bei ordinärem Kriging Multi-Modalität vorliegt, kann dies durch Mittelung über die Moden umgangen werden.

Siehe auch

• Inverse Distanzwichtung
• Approximation
• Habitatmodellierung

Literatur

• Danie G. Krige: A statistical approach to some basic mine valuation problems on the Witwatersrand. In: J. of the Chem., Metal. and Mining Soc. of South Africa. 52 (6), 1951, S. 119–139.
• Rudolf Dutter: Mathematische Methoden in der Technik. Band 2: Geostatistik. B.G. Teubner Verlag, Stuttgart 1985, ISBN 3-519-02614-7.
• J. P. Chiles, P. Delfiner: Geostatistics: Modeling Spatial Uncertainty. Wiley, New York 1999, ISBN 0-471-08315-1.

Weblinks

Commons: Kriging – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien