Inhomogene lineare Differentialgleichung

Eine inhomogene lineare Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung 1. Ordnung der Form

$y^{\prime }(x)=a(x)y(x)+b(x)$

mit stetigen Funktionen $a(x),b(x)$, oder allgemeiner eine Differentialgleichung n. Ordnung der Form

$\textstyle y^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}(x)y^{(k)}(x)+b(x)$

mit stetigen Funktionen $a_{0}(x),\ldots ,a_{n-1}(x),b(x)$. Die Funktion $b(x)$ wird als Inhomogenität der Differentialgleichung bezeichnet.

Lösung

Inhomogene lineare Differentialgleichungen können mit der Methode der Variation der Konstanten gelöst werden. Man bestimmt zunächst ein Fundamentalsystem $y_{1}(x),\ldots ,y_{n}(x)$ von $n$ Lösungen der zugehörigen homogenen Gleichung $\textstyle y^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}(x)y^{(k)}(x)$ - im Fall $y^{\prime }(x)=a(x)y(x)+b(x)$ also nur eine Lösung der Gleichung $y^{\prime }(x)=a(x)y(x)$ -, wählt dann den Ansatz $y(x)=\sum _{k=1}^{n}c_{k}(x)y_{k}(x)$ und löst die sich ergebenden Differentialgleichungen für $c_{1}(x),\ldots ,c_{n}(x)$.

Beispiel

Wir betrachten die Differentialgleichung

$y^{\prime }(x)=xy(x)+xe^{x^{2}}$.

Die zugehörige homogene Gleichung $y^{\prime }(x)=xy(x)$ hat die Lösungen $y(x)=Ce^{\frac {x^{2}}{2}}$. Wir wählen deshalb den Ansatz

$y(x)=C(x)e^{\frac {x^{2}}{2}}$,

woraus sich für $C(x)$ die Differentialgleichung

$C^{\prime }(x)=xe^{\frac {x^{2}}{2}}$

mit Lösung $C(x)=e^{\frac {x^{2}}{2}}+D$ ergibt. Die Lösungen der inhomogenen Gleichung sind also von der Form

$y(x)=e^{x^{2}}+De^{\frac {x^{2}}{2}}$.

Literatur

• Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 3. Auflage. Springer Verlag, 1986, ISBN 3-540-16143-0