Invariantes Polynom

In der Mathematik ist ein invariantes Polynom ein Polynom $P$ auf einem Vektorraum (siehe Symmetrische Algebra), welches unter der Wirkung einer Gruppe $G$ auf dem Vektorraum $V$ invariant ist, also

$P(gx)=P(x)$

für alle $g\in G,x\in V$ erfüllt.

Invariante Polynome in der Linearen Algebra

Sei $\mathbb {K}$ ein Körper und $V=\operatorname {Mat} (n,\mathbb {K} )$ der Vektorraum aller $n\times n$-Matrizen über $\mathbb {K}$. Die allgemeine lineare Gruppe $\operatorname {GL} (n,\mathbb {K} )$ wirkt auf $V$ durch Konjugation:

$gx:=gxg^{-1}$ für $g\in \operatorname {GL} (n,\mathbb {K} ),x\in \operatorname {Mat} (n,\mathbb {K} )$.

Invariante Polynome sind in diesem Fall Funktionen $P:\operatorname {Mat} (n,\mathbb {K} )\rightarrow \mathbb {K}$ mit $P(gxg^{-1})=P(x)$ für alle $g\in \operatorname {GL} (n,\mathbb {K} ),x\in \operatorname {Mat} (n,\mathbb {K} )$.

Beispiele sind die Spur und die Determinante von Matrizen. Allgemeiner kann man (mit einer formalen Variable $t$) die Entwicklung

$\det(tA+I)=\sum _{k=0}^{n}c_{k}(A)t^{k}$

betrachten und erhält invariante Polynome $c_{0},\ldots ,c_{n}$. ($c_{1}$ ist die Spur und $c_{n}$ die Determinante. Falls $\mathbb {K}$ algebraisch abgeschlossen ist, dann ist allgemein $c_{k}$ das k-te elementarsymmetrische Polynom in den Eigenwerten von $A$.)

Invariante Polynome in der Theorie der Lie-Gruppen

Sei $G$ eine Lie-Gruppe und ${\mathfrak {g}}$ ihre Lie-Algebra. Ein Polynom auf ${\mathfrak {g}}$ ist ein Polynom (mit reellen Koeffizienten) in den Basisvektoren von ${\mathfrak {g}}$, siehe Symmetrische Algebra.

Die Gruppe $G$ wirkt auf sich selbst durch Konjugation: $c_{g}(h):=ghg^{-1}$ für alle $h\in G$. Das Differential von $c_{g}$ ist eine lineare Abbildung

$\operatorname {Ad} (g):=D(c_{g})_{e}:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}$,

dies definiert die sogenannte adjungierte Darstellung der Gruppe $G$ auf dem Vektorraum ${\mathfrak {g}}$.

Ein invariantes Polynom ist ein Polynom auf ${\mathfrak {g}}$, welches invariant unter der adjungierten Wirkung ist, also

$P(\operatorname {Ad} (g)X_{1},\ldots ,\operatorname {Ad} (g)X_{k})=P(X_{1},\ldots ,X_{k})$ für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g\in G,X_1,\ldots,X_k\in\mathfrak g}

erfüllt. Die Algebra der invarianten Polynome wird mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I^*(\mathfrak g)} bezeichnet.

Beispiel G=GL(n,ℝ)

In diesem Fall ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak g=\operatorname{Mat}(n,\mathbb R)} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Ad(g)(A)=gAg^{-1}} für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g\in \operatorname{GL}(n,\mathbb R), A\in \operatorname{Mat}(n,\mathbb R)} . Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k\in\mathbb N} sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_{\frac{k}{2}}} das homogene Polynom vom Grad Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} , dessen Wert auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (A,\ldots,A)} man als Koeffizienten vom Grad Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n-k} im Polynom

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \det\left(\lambda \mathbb I -\frac{1}{2\pi}A\right)=\sum_kP_{\frac{k}{2}}(A,\ldots,A)\lambda^{n-k}}

erhält, für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A\in \operatorname{Mat}(n,\mathbb R)} . (Die Werte für die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (A,\ldots,A)} legen ein Polynom bereits eindeutig fest.) Das Polynom Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_{\frac{k}{2}}} heißt das Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{k}{2}} -te Pontrjagin-Polynom.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_{\frac{k}{2}}\in I^k(\mathfrak{gl}(n,\mathbb R))} erzeugt.

Beispiel G=O(n)

Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A\in\mathfrak o(n)} gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=-A^T} , woraus zunächst Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \det\left(\lambda \mathbb I -\frac{1}{2\pi}A\right)=\det\left(\lambda \mathbb I +\frac{1}{2\pi}A\right)} und damit dann Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_{\frac{k}{2}}=0} für alle ungeraden Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} folgt.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_k\in I^{2k}(\mathfrak o(n))} erzeugt.

Beispiel G=SO(n)

Falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n=2m} gerade ist, hat man zusätzlich noch die Pfaffsche Determinante, die für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=(a_{ij})} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_{ij}=-a_{ji}} definiert ist durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Pf(A,\ldots,A)=\frac{1}{2^{2m}\pi^mm!}\sum_{\sigma\in S_{2m}} sign(\sigma)a_{\sigma(1)\sigma(2)}\ldots a_{\sigma(2m-1)\sigma(2m)}} .

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den Pontrjagin-Polynomen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_k\in I^{2k}(\mathfrak{so}(n))} und – falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} gerade ist – der (auch als Euler-Polynom bezeichneten) Pfaffschen Determinante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Pf\in I^{\frac{n}{2}}(\mathfrak{so}(n))} erzeugt.

Beispiel G=GL(n,ℂ)

Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k\in\mathbb N} sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C_{\frac{k}{2}}} das komplex-wertige homogene Polynom vom Grad Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} , dessen Wert auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (A,\ldots,A)} man als Koeffizienten vom Grad Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n-k} im Polynom

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \det\left(\lambda \mathbb I -\frac{1}{2\pi i}A\right)=\sum_kC_k(A,\ldots,A)\lambda^{n-k}}

erhält, für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A\in \operatorname{Mat}(n,\mathbb C)} . Das Polynom Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C_k} heißt das Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} -te Chern-Polynom. Die Chern- und Pontrjagin-Polynome hängen über die Gleichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i^kC_k(A,\ldots,A)=P_{\frac{k}{2}}(A,\ldots,A)} zusammen.

Die Algebra der komplex-wertigen invarianten Polynome wird von den Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C_{k}\in I^k(\mathfrak{gl}(n,\mathbb C))} erzeugt.

Beispiel G=U(n)

Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A\in\mathfrak u(n)} ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=-A^H} und damit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \det\left(\lambda \mathbb I -\frac{1}{2\pi i}A\right)=\overline{\det\left(\lambda \mathbb I -\frac{1}{2\pi i}A\right)},} deshalb sind die Chern-Polynome auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak u(n)} reell-wertig.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C_{k}\in I^k(\mathfrak u(n))} erzeugt.

Literatur

• Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu: Foundations of differential geometry. Vol. I, II. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No. 15 Vol. II Interscience Publishers John Wiley & Sons, Inc., New York-London-Sydney 1969.
• Johan L. Dupont: Curvature and characteristic classes. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 640. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1978. ISBN 3-540-08663-3