Isotopie (Geometrie)

Isotopie ist in der synthetischen Geometrie eine Abschwächung der Isomorphie (von Körpern und Schiefkörpern) für Ternärkörper (und speziellere verallgemeinerte Körper wie Quasikörper und Halbkörper). Durch den Begriff Isotopie wird der Tatsache Rechnung getragen, dass für nichtdesarguessche projektive Ebenen die algebraische Struktur des Koordinatenbereiches der Ebene durch ihre geometrische Struktur im Allgemeinen nicht „bis auf Isomorphie“ eindeutig bestimmt ist. Es konnte aber gezeigt werden, dass die Koordinatenternärkörper zweier projektiver Ebenen, die geometrisch isomorph sind, stets algebraisch isotop sind und dass umgekehrt projektive Ebenen, die durch isotope Ternärkörper koordinatisiert werden können, stets geometrisch isomorph sind. Erst mit den von Hans-Joachim Arnold entwickelten projektiven Relativen aus der Geometrischen Relationenalgebra kehren die Übergangsverfahren der Algebraisierung und Geometrisierung synonym, d. h. bis auf Isomorphie, in seinem projektiven Klassifikationssatz einander um. In Analogie zu den entsprechenden von Isomorphie abgeleiteten Begriffen spricht man von isotopen verallgemeinerten Körpern, wenn ein Tripel von umkehrbaren Abbildungen mit bestimmten strukturerhaltenden Eigenschaften zwischen diesen Körpern existiert, und nennt das Abbildungstripel dann einen Isotopismus.

→ Isotopismen von Ternärkörpern sind ein Spezialfall der Isotopismen von Quasigruppen. Siehe dazu Quasigruppe#Morphismen.

Definition

Es seien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (K,T,0_K,1_K);(L,S,0_L,1_L)} Ternärkörper. Ein Tripel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (F,G,H)} von 3 bijektiven Abbildungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F,G,H \colon K\rightarrow L} heißt ein Isotopismus von K auf L, falls

1. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H(0_K)=0_L} und
2. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H(T(a,b,c))=S(F(a),G(b),H(c))} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a,b,c\in K}

gilt. Wenn ein Isotopismus von K auf L existiert, bezeichnet man die beiden Ternärkörper als isotop zueinander und nennt sie auch gleich bis auf Isotopie.

Eigenschaften

• Da die geforderten Abbildungen bijektiv sein müssen, sind zwei zueinander isotope Ternärkörper stets gleich mächtig, ist einer der isotopen Ternärkörper endlich, so ist es auch der andere, und ihre Ordnung (Anzahl ihrer Elemente) ist gleich.
• Zwei isomorphe Ternärkörper sind stets isotop: Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} ein Isomorphismus, dann ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (H,H,H)} ein Isotopismus.
• Für einen Isotopismus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (F,G,H): K^3\rightarrow L^3} gilt stets Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H=\rho\circ F=\lambda\circ G} , wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda: L\rightarrow L; x\mapsto S(F(1_K),x,0_L)} die „Links-“ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho: L\rightarrow L; x\mapsto S(x,G(1_K),0_L)} die „Rechtsmultiplikation“ in $L$ mit den jeweiligen Bildern des Einselementes ist.
• Es sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (K,T,0,1)} ein Ternärkörper, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r,l\in K\setminus\{0\}} . Es sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda: K\rightarrow K; x\mapsto T(l,x,0)} die Linksmultiplikation mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho: K\rightarrow K; x\mapsto T(x,r,0)} die Rechtsmultiplikation mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F_r:=\rho^{-1}; G_l:=\lambda^{-1}} . Auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} wird durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S(a,b,c):=T(F_r(a),G_l(b),c)} eine neue Ternärverknüpfung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} definiert. Dann ist auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (K,S,0,\epsilon)} ein Ternärkörper mit dem Einselement Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \epsilon=T(l,r,0)} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (F_r,G_l,\mathrm{id}_K)} ist ein Isotopismus.

• Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} ein Ternärkörper, dann ist jeder zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} isotope Ternärkörper isomorph zu einem Ternärkörper, der aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} durch einen der so definierten Isotopismen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (F_r,G_l,\mathrm{id}_K)} hervorgeht.

• Für einen endlichen Ternärkörper Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} der Ordnung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} existieren bis auf Isomorphie höchstens Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (n-1)^2} isotope Ternärkörper.

• Die genannte Schranke lässt sich nicht allgemein verbessern: Tatsächlich existiert ein Ternärkörper mit 32 Elementen, der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 31^2} zu ihm isotope aber zueinander paarweise nicht isomorphe Ternärkörper besitzt.

Isotopie ist schwächer als Isomorphie

Zwei zueinander isomorphe algebraische Strukturen erfüllen gleich starke algebraische Axiome. Das gilt für Ternärkörper im Allgemeinen nicht mehr, wenn sie nur isotop zueinander sind. Führt man, wie im Artikel Ternärkörper beschrieben, eine Addition und eine Multiplikation ein, mit der sich die Ternärverknüpfung in linearen Ternärkörpern als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T(a,b,c)=a\cdot b +c} darstellen lässt, dann erfüllen einige Ternärkörper Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (K,+,\cdot,0,1)} stärkere Axiome für verallgemeinerte Körper. Es gilt:

• Ein Körper oder Schiefkörper ist genau dann isotop zu einem Ternärkörper, wenn er zu diesem isomorph ist. Insbesondere ist das isotope Bild eines Körpers wieder ein Körper und das eines Schiefkörpers ein Schiefkörper.
• Ist ein Halbkörper isotop zu einem Ternärkörper Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L} , dann ist auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L} ein Halbkörper. Zu jeder projektiven Ebene, die keine Moufangebene ist, existieren nicht zueinander isomorphe Koordinatenbereiche. Daher existiert zu jedem echten Halbkörper ein isotoper, aber nicht isomorpher Halbkörper.
• Ist ein Quasikörper isotop zu einem Ternärkörper Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L} , dann braucht Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L} im Allgemeinen kein Quasikörper zu sein. Zu jedem endlichen Quasikörper, der kein Halbkörper ist, existiert ein isotoper Ternärkörper, der kein Quasikörper ist.

Literatur

• Donald Ervin Knuth: Finite Semifields and Projective Planes. In: Marshall Hall (Hrsg.): Selected Papers on Discrete Mathematics. Dissertation. California Institute of Technology, Stanford (Kalifornien) 1. Januar 1963, doi:10.7907/T3Q6-JC64 (Online [PDF; 2,0 MB; abgerufen am 22. Oktober 2021]). 
• Wendelin Degen und Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. In: Mathematik für das Lehramt an Gymnasien. 1. Auflage. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8. 
• Marshall Hall: Projective planes. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 54. American Mathematical Society, 1943, S. 229–277, JSTOR:1990331.