Iwahori-Hecke-Algebra

Iwahori-Hecke-Algebren sind in der Mathematik unter anderem in der geometrischen Darstellungstheorie (etwa bei der Definition des Kazhdan-Lusztig-Polynoms) und in der Knotentheorie (bei der Definition des Jones-Polynoms) von Bedeutung.

Iwahori-Algebren kommen klassisch als Endomorphismenringe in der Darstellungstheorie endlicher Chevalley-Gruppen vor, können aber für alle Coxeter-Gruppen definiert werden. Ihre komplexen Darstellungen hängen eng mit den Darstellungen der assoziierten Coxeter-Gruppen zusammen.

Konstruktion

Sei $(W,S)$ ein Coxeter-System mit Längenfunktion $l$ und ${\mathcal {L}}=\mathbb {Z} \left[v,v^{-1}\right]$ der Ring der Laurent-Polynome.

Die Iwahori-Hecke-Algebra ist die assoziative ${\mathcal {L}}$-Algebra mit Erzeugern $H_{s}$ für alle $s\in S$ und Relationen

$H_{s}^{2}=1+(v^{-1}-v)H_{s}$

$H_{s}H_{t}\ldots H_{s}=H_{t}H_{s}\ldots H_{t}$ für $st\ldots s=ts\ldots t$

$H_{s}H_{t}H_{s}\ldots H_{t}=H_{t}H_{s}H_{t}\ldots H_{s}$ für $sts\ldots t=tst\ldots s$

Für eine reduzierte Zerlegung $w=s_{1}\ldots s_{n}$ bezeichne $H_{w}=H_{s_{1}}\ldots H_{s_{n}}$. Dann hat man die folgenden Eigenschaften.

Aus $l(w_{1})+l(w_{2})=l(w_{1}w_{2})$ folgt $H_{w_{1}w_{2}}=H_{w_{1}}H_{w_{2}}$.

Die $H_{s}$ sind invertierbar: $H_{s}^{-1}=H_{s}+(v-v^{-1})$

Es gibt auf ${\mathcal {H}}$ eine eindeutige Involution $H\to {\overline {H}}$ mit ${\overline {v}}=v^{-1}$ und ${\overline {H_{s}}}=(H_{s^{-1}})^{-1}$ für $s\in S$.

Literatur

• Kapitel 7 in: James Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 29. Cambridge: Cambridge University Press (1992).

Weblinks

• G. Hiss: Iwahori-Hecke algebras and Kazhdan-Lusztig polynomials
• W. Soergel: Kazhdan-Lusztig-Polynome und eine Kombinatorik für Kipp-Moduln